Umfang und Durchmesser
Der Umfang \(U\) ist die Länge der Kreislinie — genau die Strecke, die ein Rad bei einer Umdrehung auf dem Boden zurücklegt.
- Radius:Abstand vom Mittelpunkt \(M\) zur Kreislinie: \(r\).
- Durchmesser:längste Strecke quer durch den Kreis (durch \(M\)), also \(d=2r\).
- Proportional:doppelter Durchmesser, doppelter Umfang — \(U\) wächst im gleichen Verhältnis wie \(d\).
- Kreiszahl:der Quotient \(\dfrac{U}{d}\) ist für jeden Kreis gleich. Er heißt \(\pi\) („Pi“): \(\pi\approx3{,}14\).
Stelle den Durchmesser ein und lass das Rad eine Umdrehung abrollen — mit „Abrollen“ oder indem du die Nabe in der Mitte des Rads nach rechts ziehst. Vergleiche die Spur mit dem Durchmesser.
| Durchmesser d | Umfang U (eine Umdrehung) | U : d |
|---|
Halte fest: Die Spur einer Umdrehung ist bei jedem Rad gut dreimal so lang wie sein Durchmesser — der Quotient \(U : d\) ist immer dieselbe Zahl \(\pi\approx3{,}14\).
Den Umfang berechnen
Aus \(\dfrac{U}{d}=\pi\) wird eine Formel für \(U\) — mit \(d=2r\) auch eine für den Radius.
Herleitung:
Umstellen nach r:
- Rechnen:mit der \(\pi\)-Taste des Taschenrechners, erst das Ergebnis runden.
- Einheit:\(U\) hat dieselbe Längeneinheit wie \(r\) und \(d\) (cm, m …).
Umfang des Kreises: \(U=2\pi r=\pi d\)
Allgemeine Hinweise
Radius oder Durchmesser?
Ist \(d\) gegeben, gilt \(U=\pi d\). Wer \(d\) für \(r\) in \(2\pi r\) einsetzt, erhält den doppelten Umfang.
3,14 ist gerundet
\(\pi=3{,}14159\ldots\) — mit 3,14 statt der \(\pi\)-Taste weicht das Ergebnis ab, bei großen Kreisen deutlich.
Überschlag mit 3
Der Umfang ist etwas mehr als \(3\cdot d\). Bei \(d=5\) cm muss gut 15 cm herauskommen: \(U\approx15{,}71\) cm.