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Der Flächeninhalt des Kreises

Zehn Übungen, in denen sich zeigt, warum doppelter Radius vierfache Fläche bedeutet.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Rechenaufgaben helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Mix: Umfang oder Fläche?
AFB I

Für welche Frage brauchst du den Umfang eines Kreises (1.1.1), für welche den Flächeninhalt?

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Umfang: U = 2πr
2Fläche: A = πr²
Rand, Band, Weg, Zaun → Länge → Umfang in m. Bedecken, bemalen, bepflanzen → Fläche → πr² in m². Die Einheit verrät die Formel.
A2
Radius oder Durchmesser?
AFB I

Verbinde jede Angabe mit dem passenden Flächeninhalt. Achtung: Manchmal ist der Durchmesser gegeben.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
d = 2 cm heißt r = 1 cm und A = π · 1² cm² ≈ 3,14 cm² — nur ein Viertel der Fläche bei r = 2 cm. Bei d = 30 cm erst halbieren: π · 15² cm² ≈ 706,86 cm².
Ansatz: Ist d gegeben, halbiere zuerst: r = d : 2.
Rechenweg: A = π · r²: z. B. π · 1,5² = π · 2,25 ≈ 7,07.
A3
Welche Rechnungen passen?
AFB I

Ein Kreis hat den Durchmesser d = 18 cm. Welche Rechnungen liefern seinen Flächeninhalt?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Richtig sind π · 9², π · 18² : 4 (weil (d : 2)² = d² : 4) und ½ · U · r aus der Herleitung — alle ergeben ≈ 254,47 cm². π · 18² nimmt den Durchmesser als Radius (viermal zu groß), (π · 9)² quadriert auch π, 2 · π · 9 ist der Umfang.
A4
Schätz-Regler: Der runde Teppich
AFB II

Ein runder Teppich hat einen Durchmesser von 2,4 m. Schätze seinen Flächeninhalt — Überschlag reicht.

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
1 m²10 m²
r = 1,2 m, A = π · 1,2² m² ≈ 4,52 m². Überschlag: 3 · r² = 3 · 1,44 m² ≈ 4,3 m² — etwas mehr muss es sein.
Ansatz: Halbiere den Durchmesser. Die Kreisfläche ist etwas mehr als 3 · r².
Rechenweg: r = 1,2 m, r² = 1,44 m², mal gut 3.
A5
Rechenkette: Der runde Esstisch
AFB II

Ein runder Esstisch soll eine Tischplatte mit 1,5 m² Fläche bekommen. Rechne rückwärts.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Radius der Platte, zwei Nachkommastellen m
  2. Durchmesser in ganzen Zentimetern cm
  3. Länge der Tischkante (Umfang), zwei Nachkommastellen m
  4. Jeder Platz braucht 60 cm Tischkante. Wie viele Personen passen?
r = √(1,5 : π) m ≈ 0,69 m — erst durch π teilen, dann die Wurzel ziehen. Die Kante: 2π · 0,69 m ≈ 4,34 m; 4,34 : 0,6 ≈ 7,2, also 7 volle Plätze (abrunden!).
Ansatz: Stelle A = π · r² nach r um: r = √(A : π).
Rechenweg: 1,5 : π ≈ 0,4775; √0,4775 ≈ 0,691. Dann U = 2π · r und U : 0,6.
A6
Herleitung zusammenbauen
AFB II

Baue die Herleitung der Flächenformel aus dem „Fast-Rechteck“ der umgelegten Sektoren — zwei Bausteine sind Fallen.

Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Die Länge des Rechtecks ist nur der halbe Umfang, weil die andere Hälfte der Bögen unten liegt — daher ½ · U. Die Falle (π · r)² quadriert auch π.
Ansatz: Länge = halber Umfang, Höhe = Radius.
Rechenweg: ½ · U · r, dann U = 2πr einsetzen und kürzen.
A7
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Rechnungen aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Durchmesser eingesetzt, π mitquadriert, Wurzel vergessen — alle drei Fehler kosten in Klassenarbeiten regelmäßig Punkte. Ein Überschlag mit 3 · r² deckt sie sofort auf.
A8
Trickaufgabe: Doppelt so viel Wasserfläche
AFB III

Ein runder Gartenpool hat den Radius 2 m. Der neue Pool soll doppelt so viel Wasserfläche haben. Welchen Radius braucht er? Runde auf zwei Nachkommastellen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Doppelte Fläche heißt nicht doppelter Radius: Mit r = 4 m wäre die Fläche viermal so groß. π · r² = 2 · π · 2² ⇒ r² = 8 ⇒ r = √8 m ≈ 2,83 m — der Radius wächst nur mit dem Faktor √2.
Ansatz: Setze an: π · r² = 2 · (π · 2²). Was passiert mit π?
Rechenweg: π kürzt sich weg: r² = 8, also r = √8.
A9
Stanzen aus dem Blech
AFB III

Aus einer quadratischen Blechplatte mit der Seitenlänge 50 cm wird die größte mögliche Kreisscheibe ausgestanzt. Der Rest ist Abfall.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Der Anteil π : 4 ≈ 0,785 ist bei jeder Größe gleich: Quadrat und Kreis wachsen beide mit dem Quadrat der Länge. Ein gutes Fünftel des Blechs landet immer im Abfall.
    Ansatz: Die Scheibe passt genau hinein — ihr Durchmesser ist die Seitenlänge.
    Rechenweg: A_Quadrat = 50² cm² = 2500 cm²; A_Kreis = π · 25² cm². Abfall in Prozent: Differenz : 2500 · 100.
    A10
    Was passiert mit der Fläche?
    AFB III

    Am Kreis wird etwas verändert. Schätze für jede Zeile ein, was mit dem Flächeninhalt passiert — ohne zu rechnen.

    Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird ein Viertel so groß, 2 = wächst um gut 20 %, 3 = vervierfacht sich, 4 = verneunfacht sich, 5 = verdoppelt sich. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
    1 = wird ein Viertel so groß5 = verdoppelt sich
    Der Radius wird verdoppelt.
    Der Durchmesser wird verdreifacht.
    Der Radius wird halbiert.
    Der Umfang wird verdoppelt.
    Der Radius wird um 10 % länger.
    A = π · r²: Der Faktor beim Radius wirkt im Quadrat. Doppelter Umfang heißt doppelter Radius, also vierfache Fläche. 10 % mehr Radius: 1,1² = 1,21 — gut 20 % mehr Fläche. „Verdoppelt sich“ kommt bei keiner Zeile vor.
    Ansatz: Setze k · r in A = π · r² ein: π · (k · r)² = k² · π · r².
    Rechenweg: k = 2 → 4, k = 3 → 9, k = ½ → ¼, k = 1,1 → 1,21.