Der Rasensprenger
AFB I–IIEin Kreisregner verteilt Wasser gleichmäßig auf einer Kreisfläche. Seine Reichweite, also der Radius des Wasserkreises, lässt sich von 2 m bis 8 m einstellen. Familie Öztürk hat einen rechteckigen Rasen mit 15 m Länge und 12 m Breite und stellt den Regner genau in die Mitte.
- Berechne die größte Fläche, die der Regner bewässern kann.
- Damit kein Wasser auf den Gartenweg spritzt, wird die Reichweite auf 6 m eingestellt. Werte aus, welcher Anteil des Rasens dann bewässert wird.
- Für ein Gemüsebeet sollen genau 150 m² bewässert werden. Löse die Gleichung \(\pi r^2=150\) und nenne die passende Einstellung.
- Erkläre mithilfe einer Rechnung, warum dieser Regner in der Mitte den ganzen Rasen nicht bewässern kann und warum dabei selbst ein stärkerer Regner sehr viel Wasser verschwenden würde.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(A=\pi\cdot 8^2\text{ m}^2=64\pi\text{ m}^2\approx 201{,}06\text{ m}^2\).
Der Regner kann höchstens etwa 201 m² bewässern.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Kreis: \(A=\pi\cdot 6^2\text{ m}^2\approx 113{,}10\text{ m}^2\). Rasen: \(15\text{ m}\cdot 12\text{ m}=180\text{ m}^2\).
\(113{,}10:180\approx 0{,}628\): Nur rund 63 % des Rasens werden bewässert; die vier Ecken bleiben trocken.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\pi r^2=150\;\big|\;:\pi\;\Rightarrow\; r^2=\dfrac{150}{\pi}\approx 47{,}75\;\big|\;\sqrt{\ }\;\Rightarrow\; r\approx 6{,}91\text{ m}\).
Die Reichweite muss auf etwa 6,9 m eingestellt werden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Mitte bis Ecke: \(\sqrt{7{,}5^2+6^2}\text{ m}=\sqrt{92{,}25}\text{ m}\approx 9{,}60\text{ m}\). Das ist mehr als die größte Reichweite von 8 m — die Ecken werden nie erreicht.
Ein Regner mit \(r=9{,}60\text{ m}\) würde \(\pi\cdot 92{,}25\text{ m}^2\approx 289{,}8\text{ m}^2\) bewässern, davon lägen etwa \(289{,}8-180\approx 109{,}8\text{ m}^2\) außerhalb des Rasens — mehr als ein Drittel des Wassers ginge daneben. Ein Kreis kann ein Rechteck nie genau ausfüllen.
Stromkabel und ihr Querschnitt
AFB II–IIIElektriker wählen Leitungen nach ihrem Querschnitt: Das ist die Fläche der kreisrunden Schnittfläche des Kupfers, angegeben in mm². In Wohnungen sind 1,5 mm² für Lampen und 2,5 mm² für Steckdosen üblich. Flexible Kabel bestehen statt aus einem dicken Draht aus mehreren dünnen Einzeldrähten, einer sogenannten Litze. Vereinfacht gilt: Die Stromstärke, die eine Leitung dauerhaft führen darf, ist proportional zu ihrem Querschnitt.
- Bestimme den Durchmesser eines massiven Kupferdrahts mit 2,5 mm² Querschnitt.
- Weise nach, dass die abgebildete Litze aus sieben Drähten mit je 0,67 mm Durchmesser ungefähr den Querschnitt 2,5 mm² hat.
- Von 1,5 mm² auf 2,5 mm² wächst der Querschnitt um rund 67 %, der Durchmesser aber nur um rund 29 %. Interpretiere diese beiden Prozentangaben mithilfe der Flächenformel.
- Beurteile die Aussage eines Heimwerkers: „Ein Draht mit doppeltem Durchmesser darf doppelt so viel Strom führen.“
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\pi r^2=2{,}5\;\Rightarrow\; r=\sqrt{\dfrac{2{,}5}{\pi}}\text{ mm}\approx 0{,}892\text{ mm}\).
\(d=2r\approx 1{,}78\text{ mm}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ein Einzeldraht: \(r=0{,}335\text{ mm}\), \(A_1=\pi\cdot 0{,}335^2\text{ mm}^2\approx 0{,}3526\text{ mm}^2\).
Sieben Drähte: \(7\cdot 0{,}3526\text{ mm}^2\approx 2{,}47\text{ mm}^2\approx 2{,}5\text{ mm}^2\) — nur etwa 1,3 % weniger, also passend.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(A=\dfrac{\pi}{4}d^2\): Der Querschnitt wächst mit dem Quadrat des Durchmessers. Umgekehrt wächst der Durchmesser nur mit der Wurzel des Querschnitts.
\(\dfrac{2{,}5}{1{,}5}\approx 1{,}67\) (plus 67 %), \(\sqrt{1{,}67}\approx 1{,}29\) (plus 29 %). Kontrolle: \(d_{1{,}5}\approx 1{,}38\text{ mm}\), \(d_{2{,}5}\approx 1{,}78\text{ mm}\), \(1{,}78:1{,}38\approx 1{,}29\). Ein kaum sichtbar dickerer Draht hat deutlich mehr Querschnitt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Doppelter Durchmesser heißt doppelter Radius: \(\pi(2r)^2=4\pi r^2\) — der Querschnitt vervierfacht sich.
Nach der Annahme aus dem Text darf der Draht dann viermal so viel Strom führen, nicht doppelt so viel. Die Aussage ist also falsch, weil sie Durchmesser und Querschnitt verwechselt. (In der Praxis wächst die zulässige Stromstärke wegen der Erwärmung etwas langsamer als der Querschnitt — aber deutlich stärker als nur „doppelt“.)