Der Flächeninhalt des Kreises

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Zerlegen und umlegen

Der Kreis wird in gleich große Tortenstücke zerlegt und neu gelegt — zu einer Figur, deren Fläche man berechnen kann.

Sektoren:Tortenstücke mit der Spitze im Mittelpunkt; ihre geraden Kanten sind Radien.
Umlegen:abwechselnd Spitze unten, Spitze oben — die Stücke greifen ineinander.
Länge:oben und unten liegt je der halbe Kreisbogen: \(\tfrac12U=\pi r\).
Höhe:eine gerade Kante steht fast senkrecht: \(r\).

Wähle die Anzahl der Sektoren und lege sie mit dem Regler oder „Umlegen“ nebeneinander. Achte darauf, wie gerade die Bögen oben und unten werden.

Anzahl der Sektoren

Umlegen

Halte fest: Je mehr Sektoren, desto gerader die Bögen — die Figur wird zum Rechteck mit der Länge \(\pi r\) (halber Umfang) und der Höhe \(r\).

Herleitung:

\(A=\tfrac12U\cdot r\)

U = 2πr einsetzen

Start: Rechteck aus unendlich vielen Sektoren, Länge \(\tfrac12U\), Höhe \(r\).

\(A=\tfrac12\cdot2\pi r\cdot r\)

kürzen

\(\tfrac12\cdot2=1\) und \(r\cdot r=r^2\).

\(A=\pi r^2\)

Ergebnis

Flächeninhalt aus dem Radius.

Merke

Flächeninhalt des Kreises: \(A=\pi r^2\)

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Mit der Formel rechnen

Mit \(A=\pi r^2\) lässt sich auch rückwärts aus der Fläche der Radius bestimmen.

Umstellen nach r:

\(A=\pi r^2\)

| : π

Start: Flächenformel.

\(\dfrac{A}{\pi}=r^2\)

| √

\(r\) ist eine Länge, also zählt nur die positive Wurzel.

\(r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}\)

Ergebnis

Danach bei Bedarf \(d=2r\).

Mit d:\(A=\pi\left(\dfrac d2\right)^2=\dfrac{\pi}{4}\,d^2\).
Doppelter Radius:\(\pi(2r)^2=4\pi r^2\) — vierfache Fläche; dreifacher Radius, neunfache Fläche.
Einheit:der Radius steht im Quadrat, also Flächeneinheiten: cm², m² …

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Allgemeine Hinweise

Erst quadrieren, dann mal π

\(\pi r^2\) heißt \(\pi\cdot(r\cdot r)\), nicht \((\pi r)^2\). Bei \(r=3\) cm: \(A\approx28{,}27\) cm².

Umfang oder Fläche?

\(2\pi r\) ist eine Länge (cm), \(\pi r^2\) eine Fläche (cm²). Die Einheit verrät, welche Formel gemeint ist.

Überschlag mit 3

Die Kreisfläche ist etwas mehr als \(3r^2\). Bei \(r=10\) cm also gut 300 cm², genau \(A\approx314{,}16\) cm².