Das Tipi im Zeltlager
AFB I–IIFür ein Zeltlager wird ein Tipi aufgebaut. Es hat die Form eines Kegels ohne Boden: Der Kreis auf dem Boden hat einen Durchmesser von 5 m, die Spitze liegt 3,6 m über dem Boden.
- Gib den Radius \(r\) und die Höhe \(h\) des Kegels an.
- Berechne die Länge der Mantellinie und die Fläche der Zeltplane.
- Pro Person rechnet man mit mindestens 4 m³ Luft. Bestimme, wie viele Personen im Tipi schlafen dürfen.
- Die Plane wird als Kreisausschnitt zugeschnitten. Ermittle seinen Mittelpunktswinkel.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(r = \tfrac{5}{2}\) m \(= 2{,}5\) m; \(h = 3{,}6\) m.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(s = \sqrt{2{,}5^2 + 3{,}6^2}\) m \(= \sqrt{19{,}21}\) m \(\approx 4{,}38\) m.
\(M = \pi\cdot 2{,}5\cdot 4{,}38\) m² \(\approx 34{,}4\) m².
Für die Plane braucht man rund 34,4 m² Stoff.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(V = \tfrac13\cdot\pi\cdot 2{,}5^2\cdot 3{,}6\) m³ \(= 7{,}5\pi\) m³ \(\approx 23{,}56\) m³.
\(23{,}56 : 4 \approx 5{,}9\). Es dürfen höchstens 5 Personen darin schlafen — aufrunden würde die Mindestluftmenge unterschreiten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(\alpha = 360^\circ\cdot\dfrac{2{,}5}{4{,}38} \approx 205^\circ\).
Der Zuschnitt ist also etwas mehr als ein Halbkreis.
Der Kieshaufen auf der Baustelle
AFB II–IIIAuf einer Baustelle wird Kies zu einem kegelförmigen Haufen aufgeschüttet. Er ist 3 m hoch und hat am Boden einen Durchmesser von 10 m. 1 m³ Kies wiegt etwa 1,6 t; ein Lkw darf höchstens 18 t laden.
- Weise nach, dass der Haufen rund 78,5 m³ Kies enthält.
- Untersuche, ob sieben Lkw-Ladungen reichen, um den ganzen Haufen abzutransportieren.
- Gegen Regen wird der Haufen mit einer Plane abgedeckt. Bestätige, dass dafür rund 92 m² Plane nötig sind.
- Der Polier meint: „Schütten wir dieselbe Menge doppelt so hoch auf, brauchen wir nur halb so viel Plane.“ Nimm Stellung zu dieser Aussage.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(V = \tfrac13\cdot\pi\cdot 5^2\cdot 3\) m³ \(= 25\pi\) m³ \(\approx 78{,}54\) m³ — also rund 78,5 m³.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(m \approx 78{,}54\cdot 1{,}6\) t \(\approx 125{,}7\) t. Sieben Ladungen fassen \(7\cdot 18\) t \(= 126\) t.
Rechnerisch reicht es knapp (etwa 0,3 t Reserve). Da 1,6 t pro m³ nur ein Schätzwert ist, sollte man vorsichtshalber eine achte Fahrt einplanen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(s = \sqrt{5^2 + 3^2}\) m \(= \sqrt{34}\) m \(\approx 5{,}83\) m.
\(M = \pi\cdot 5\cdot 5{,}83\) m² \(\approx 91{,}6\) m² — also rund 92 m². Bestätigt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Neuer Radius: \(r^2 = \dfrac{3V}{\pi h} = \dfrac{3\cdot 25\pi}{6\pi}\) m² \(= 12{,}5\) m², \(r \approx 3{,}54\) m.
\(s = \sqrt{12{,}5 + 36}\) m \(\approx 6{,}96\) m, \(M = \pi\cdot 3{,}54\cdot 6{,}96\) m² \(\approx 77{,}4\) m².
Man spart nur rund 14 m² (etwa 16 %), nicht die Hälfte. Der Radius wird zwar kleiner, dafür wird die Mantellinie länger. Die Aussage des Poliers ist falsch.