Netz und Mantel
Ein Kegel hat einen Kreis als Grundfläche und eine Spitze senkrecht über dessen Mittelpunkt. Schneidet man den Mantel entlang einer Linie auf, lässt er sich flach abrollen.
- Radius \(r\):Radius des Grundkreises.
- Höhe \(h\):Abstand der Spitze von der Grundfläche — steht senkrecht auf ihr.
- Mantellinie \(s\):Strecke von der Spitze zum Rand; mit Pythagoras \(s=\sqrt{r^2+h^2}\).
- Netz:Grundkreis und ein Kreisausschnitt mit dem Radius \(s\). Sein Bogen ist so lang wie der Umfang des Grundkreises: \(b=2\pi r\).
Ziehe die Spitze \(S\) nach oben oder unten und den Randpunkt nach außen. Rechts rollt sich der Mantel als Kreisausschnitt ab — achte auf den blauen Rand.
Halte fest: Der Mantel ist ein Kreisausschnitt mit dem Radius \(s\) und dem Bogen \(2\pi r\). Sein Winkel ist \(\alpha=360^\circ\cdot\dfrac{r}{s}\) — je flacher der Kegel, desto voller der Kreis.
Herleitung:
Mantel des Kegels: \(M=\pi\cdot r\cdot s\)
Oberfläche und Volumen
Die Oberfläche besteht aus Grundkreis und Mantel; für das Volumen gilt dasselbe Drittel wie bei der Pyramide (1.2.3).
- Oberfläche:\(O=G+M=\pi r^2+\pi r s=\pi r\,(r+s)\).
- Volumen:Ein Kegel ist ein Drittel des Zylinders mit gleichem \(r\) und \(h\): \(V=\tfrac13\cdot G\cdot h\) mit \(G=\pi r^2\).
- \(s\) gesucht:\(s=\sqrt{r^2+h^2}\).
- \(h\) gesucht:\(h=\sqrt{s^2-r^2}\).
Oberfläche und Volumen des Kegels: \(O=\pi r^2+\pi r s\) und \(V=\tfrac13\,\pi r^2 h\)
Allgemeine Hinweise
s im Mantel, h im Volumen
Der Mantel braucht die Mantellinie \(s\), das Volumen die Höhe \(h\). Fehlt eine davon, hilft der Satz des Pythagoras.
Durchmesser halbieren
Steht der Durchmesser \(d\) in der Aufgabe, zuerst \(r=\tfrac d2\) bilden — sonst wird \(r^2\) viermal zu groß.
π bis zum Schluss
Rechne mit \(\pi\) als Faktor, z. B. \(M=15\pi\,\mathrm{cm^2}\), und runde erst am Ende. So entstehen keine Rundungsfehler.