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Kreisbogen und Kreisausschnitt

Zehn Übungen vom Uhrzeiger bis zum Rundbogenfenster — immer geht es um den richtigen Anteil.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei den Rechenaufgaben helfen gestufte Tipps.

A1
Ein Sechstel vom Kreis
AFB I

Ein Kreisausschnitt hat den Mittelpunktswinkel α = 60°. Welche Aussagen stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Der Anteil ist 60° : 360° = 1/6 — nicht 60 %, und ein Winkel ist keine Länge. Beim doppelten Radius wächst die Fläche auf das Vierfache, weil r quadriert wird.
A2
Winkel-Anteil-Memory
AFB I

Finde die sechs Paare aus Mittelpunktswinkel und Anteil am ganzen Kreis.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Anteil = α : 360°. Kürzen hilft: 135/360 → durch 45 geteilt ergibt 3/8.
A3
Bogen berechnen
AFB I

Ein Kreis hat den Radius r = 7,5 cm. Wie lang ist der Kreisbogen zum Mittelpunktswinkel α = 48°? Runde auf zwei Nachkommastellen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
b = 48°/360° · 2π · 7,5 cm = 2/15 · 15π cm = 2π cm ≈ 6,28 cm. Wer πr² statt 2πr nimmt, rechnet eine Fläche aus — die Einheit cm² würde das verraten.
Ansatz: b = α/360° · 2πr — der Bogen ist ein Anteil des Umfangs.
Rechenweg: 48/360 = 2/15 und 2π · 7,5 = 15π. Multipliziere beides.
Lösung: b = 2π cm ≈ 6,28 cm
A4
Welche Formel brauchst du?
AFB II

Gemischt mit den vorigen Unterkapiteln: Welche Formel beantwortet die Frage?

Setze die passenden Kreuze. Enter setzt und löscht.
FrageU = 2πrA = πr²b = α/360° · 2πr
Wie viel Randstein braucht ein kreisrundes Blumenbeet?
Wie groß ist eine runde Tischplatte?
Welchen Weg legt ein Pendel bei 40° Ausschlag zurück?
Wie lang ist der runde Rand eines Tortenstücks mit 30°?
Wie weit rollt ein Fahrrad bei einer Radumdrehung?
Längen (Rand, Weg) brauchen 2πr, Flächen πr². Der Bogen ist nur das Stück des Umfangs, das zum Winkel gehört — ein ganzer Umlauf braucht den vollen Umfang.
A5
Ausschnitt aus einer Scheibe
AFB II

Aus einer runden Holzscheibe mit dem Durchmesser 18 cm wird ein Kreisausschnitt mit α = 80° ausgesägt. Wie groß ist seine Fläche? Runde auf zwei Nachkommastellen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Gegeben war der Durchmesser: r = 9 cm. A = 80°/360° · π · 9² cm² = 2/9 · 81π cm² = 18π cm² ≈ 56,55 cm². Mit 18 cm als Radius erhält man 226,19 cm² — viermal zu viel.
Achtung: Lies genau: Ist der Radius gegeben oder der Durchmesser?
Rechenweg: r = 9 cm, Anteil 80/360 = 2/9, Kreisfläche π · 81 cm².
Lösung: A = 18π cm² ≈ 56,55 cm²
A6
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Rechnungen aus einem Schulheft — drei davon sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der häufigste Fehler in Klassenarbeiten: Bogen- und Flächenformel verwechseln. Die Einheit entscheidet — cm gehört zu 2πr, cm² zu πr².
A7
Rechenkette: Der Minutenzeiger
AFB II

Der Minutenzeiger einer Bahnhofsuhr ist 12 cm lang (von der Mitte bis zur Spitze).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Winkel, den der Zeiger in 25 Minuten überstreicht °
  2. Weg der Zeigerspitze in 25 Minuten cm
  3. Überstrichene Fläche in 25 Minuten cm²
  4. Minuten, bis die Spitze 1 m zurückgelegt hat min
In 60 Minuten dreht sich der Zeiger um 360°, also 6° pro Minute. Die Fläche geht schnell über A = ½ · b · r. Für 1 m: 100 cm von 24π cm ≈ 75,4 cm pro Stunde sind etwa 1,33 Stunden.
Ansatz: 360° in 60 Minuten — wie viel Grad pro Minute?
Zwischenschritt: b = 150°/360° · 2π · 12 cm = 10π cm. Für die Fläche: A = ½ · b · r.
Lösung: 150° · 31,42 cm · 188,50 cm² · 100 : (24π) · 60 min ≈ 79,6 min
A8
Innenradius eines Rings
AFB III

Ein Dichtungsring hat den Außenradius 5 cm und die Fläche 50 cm². Baue die Umformung zum Innenradius zusammen — zwei Bausteine sind Fallen.

Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Die Fallen quadrieren die Differenz statt die Radien einzeln. 5 − √(50 : π) ≈ 1,01 cm wäre ein viel zu kleines Loch — Probe: π · (25 − 3,01²) ≈ 50.
Ansatz: Setze in A = π(ra² − ri²) ein, was bekannt ist: A = 50, ra = 5.
Rechenweg: Erst durch π teilen, dann ri² auf eine Seite bringen, zuletzt die Wurzel ziehen.
Lösung: ri² = 25 − 15,92 ≈ 9,08, also ri ≈ 3,01 cm
A9
Das Rundbogenfenster
AFB III

Ein Fenster besteht aus einem Rechteck (80 cm breit, 120 cm hoch) mit einem aufgesetzten Halbkreis. Gesucht sind die Glasfläche und die Länge der Dichtung am äußeren Rand.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Bei zusammengesetzten Figuren: Flächen addieren, beim Umfang aber nur die Außenlinie ablaufen. Innere Trennlinien zählen nicht mit.
    Ansatz: Zeichne eine Skizze und markiere, welche Linien außen liegen.
    Lösung: A ≈ 12 113 cm² ≈ 1,21 m², Dichtung ≈ 445,7 cm
    A10
    Was passiert mit der Ausschnittsfläche?
    AFB III

    Radius und Mittelpunktswinkel eines Kreisausschnitts werden verändert. Schätze für jede Zeile ein, was mit der Fläche passiert — ohne zu rechnen.

    Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = halbiert sich, 2 = bleibt gleich, 3 = verdoppelt sich, 4 = vervierfacht sich, 5 = verneunfacht sich. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
    1 = halbiert sich5 = verneunfacht sich
    r wird verdoppelt
    α wird verdoppelt
    r wird halbiert, α vervierfacht
    r wird verdreifacht
    α wird halbiert
    In A = α/360° · πr² geht der Winkel einfach, der Radius aber quadratisch ein: r · 2 → A · 4, r · 3 → A · 9. Halber Radius (· ¼) und vierfacher Winkel (· 4) heben sich genau auf.