Der Scheibenwischer
AFB I–IIDer Wischerarm eines Autos ist 55 cm lang (vom Drehpunkt bis zur Spitze). Das Gummi-Wischblatt beginnt 10 cm vom Drehpunkt entfernt und reicht bis zur Spitze. Bei jeder Wischbewegung dreht sich der Arm um 110°.
- Gib den Innen- und den Außenradius der gewischten Fläche sowie ihren Anteil am vollen Kreisring an.
- Berechne den Weg, den die Wischerspitze bei einer Wischbewegung zurücklegt.
- Bestimme den Flächeninhalt der gewischten Fläche in cm² und in m².
- Bei starkem Regen wischt der Wischer 45-mal pro Minute hin und 45-mal zurück. Ermittle den Weg der Wischerspitze in einer Minute in Metern.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(r_i=10\,\text{cm}\), \(r_a=55\,\text{cm}\); Anteil \(\tfrac{110^\circ}{360^\circ}=\tfrac{11}{36}\approx 0{,}306\), also knapp ein Drittel des Kreisrings.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(b=\tfrac{110^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 55\,\text{cm}=\tfrac{11}{36}\cdot 110\pi\,\text{cm}\approx 105{,}59\,\text{cm}\).
Die Spitze legt pro Wischbewegung etwa 1,06 m zurück.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(A=\tfrac{11}{36}\cdot\pi\,(55^2-10^2)\,\text{cm}^2=\tfrac{11}{36}\cdot 2925\pi\,\text{cm}^2\approx 2807{,}80\,\text{cm}^2\approx 0{,}28\,\text{m}^2\).
Häufiger Fehler: \(\pi\,(55-10)^2\) — erst quadrieren, dann subtrahieren.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
90 Bögen pro Minute: \(90\cdot 105{,}59\,\text{cm}\approx 9503\,\text{cm}\approx 95\,\text{m}\).
Die Wischerspitze legt in einer Minute rund 95 m zurück.
Der Kreisverkehr
AFB II–IIIEin Kreisverkehr hat eine runde, bepflanzte Mittelinsel mit dem Radius 12 m. Die Fahrbahn um die Insel ist 8 m breit. Die vier Ausfahrten liegen gleichmäßig verteilt, jeweils 90° voneinander entfernt.
- Bestätige, dass für die Fahrbahn rund 804 m² Asphalt nötig sind.
- Ein Auto fährt bis zur dritten Ausfahrt (270°) einmal ganz innen am Inselrand, einmal ganz außen am Fahrbahnrand. Vergleiche die beiden Wege.
- Jemand behauptet: „Egal wie groß ein Kreisverkehr ist — bei 8 m Fahrbahnbreite ist der äußere Rand immer gut 50 m länger als der innere.“ Beurteile diese Aussage.
- Die Gemeinde will 25 % der Asphaltfläche einsparen und dafür die Mittelinsel vergrößern; der äußere Rand bleibt. Laut Vorschrift muss die Fahrbahn mindestens 6 m breit sein. Entwickle einen Lösungsweg für den neuen Inselradius und prüfe, ob der Plan zulässig ist.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(r_a=12\,\text{m}+8\,\text{m}=20\,\text{m}\).
\(A=\pi\,(20^2-12^2)\,\text{m}^2=\pi\cdot 256\,\text{m}^2\approx 804{,}25\,\text{m}^2\approx 804\,\text{m}^2\). Die Angabe stimmt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Innen: \(b_i=\tfrac34\cdot 2\pi\cdot 12\,\text{m}\approx 56{,}55\,\text{m}\). Außen: \(b_a=\tfrac34\cdot 2\pi\cdot 20\,\text{m}\approx 94{,}25\,\text{m}\).
Der Weg außen ist etwa 37,70 m länger, das sind rund 67 % mehr (\(\tfrac{20}{12}\approx 1{,}67\)).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(2\pi\,(r_i+8)-2\pi r_i=2\pi\cdot 8\,\text{m}=16\pi\,\text{m}\approx 50{,}27\,\text{m}\).
Der Radius fällt heraus: Die Aussage ist für jeden Kreisverkehr mit 8 m Fahrbahnbreite richtig. Sie gilt aber nur für den vollen Umlauf; für ein Teilstück (z. B. 270°) ist der Unterschied entsprechend kleiner.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Neue Fläche: \(0{,}75\cdot 256\pi\,\text{m}^2=192\pi\,\text{m}^2\).
\(\pi\,(400-r_i^2)=192\pi\;\Rightarrow\; r_i^2=208\;\Rightarrow\; r_i\approx 14{,}42\,\text{m}\).
Fahrbahnbreite \(20\,\text{m}-14{,}42\,\text{m}\approx 5{,}58\,\text{m}<6\,\text{m}\): Der Plan ist nicht zulässig. Bei 6 m Mindestbreite ginge höchstens \(r_i=14\,\text{m}\), das spart \(1-\tfrac{400-196}{256}\approx 20\,\%\).