Wachstumsfaktor und Prozent: Übungen – Mathe Klasse 10

A1

Gleiche Ziffern, andere Bedeutung

AFB I

Ordne jeder prozentualen Änderung pro Schritt den passenden Wachstumsfaktor zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Immer von den alten 100 % ausgehen: +18 % → 118 % → 1,18; −18 % → 82 % → 0,82; −82 % → nur 18 % bleiben → 0,18; +180 % → 280 % → 2,8. Wer bei Abnahme p/100 als Faktor nimmt, vertauscht 0,82 und 0,18.

Schreibe jede Änderung zuerst als „neuer Wert = … % des alten“.

Zunahme: b = 1 + p/100. Abnahme: b = 1 − p/100. Aus 1,8 % wird 0,018, aus 180 % wird 1,8.

A2

Mehr oder weniger als verdoppelt?

AFB I

Ordne jeden Wachstumsfaktor in die passende Kategorie ein.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Zunahme um mehr als 100 %

2Zunahme um höchstens 100 %

3Abnahme

Die Grenze liegt bei b = 2 (+100 %): 2,01 ist knapp darüber (+101 %), 1,99 knapp darunter (+99 %). 1,09 bedeutet +9 %, nicht +90 %. Und 0,09 ist eine Abnahme um 91 % — nur 9 % bleiben übrig.

Rechne jeden Faktor in einen Prozentsatz um: p % = (b − 1) · 100 %.

Ist b kleiner als 1, ist es eine Abnahme — egal wie klein. Verdopplung (b = 2) bedeutet genau +100 %.

A3

Blitzrechnung

AFB I

Die Zahl der Bienenvölker eines Imkervereins sinkt über einen Winter um 12,5 %. Gib den Wachstumsfaktor b für diesen Winter an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

b = 1 − 12,5/100 = 1 − 0,125 = 0,875: Es bleiben 87,5 % der Völker. Typische Fehler: 0,125 (nur der Verlust) oder 1,125 (Zunahme statt Abnahme).

Wie viel Prozent der Bienenvölker sind nach dem Winter noch da?

12,5 % sind 0,125. Bei einer Abnahme gilt b = 1 − p/100.

A4

Aus der Tabelle zum Prozentsatz

AFB II Mix

Die Zahl der Abonnements einer Regionalzeitung zu Jahresbeginn:

Jahr	0	1	2	3
Abonnements	25 000	23 500	22 090	20 765

Ermittle den Wachstumsfaktor, die prozentuale Abnahme pro Jahr und die Prognose für Jahr 4 (auf ganze Abonnements gerundet).

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Größe	Wert
Wachstumsfaktor b
Abnahme pro Jahr in %
Abonnements in Jahr 4

Alle Quotienten neu : alt sind 0,94 (23 500 : 25 000 = 0,94 usw.). b = 0,94 heißt: 94 % bleiben, 6 % fallen weg. Jahr 4: 20 765 · 0,94 ≈ 19 519. Nicht verwechseln: Die Abnahme pro Jahr wird in Abonnements immer kleiner (1500, 1410, 1325 …), in Prozent bleibt sie gleich.

Wie in 4.1.1: Quotienten neu : alt bilden und prüfen, ob sie gleich sind.

Aus b den Prozentsatz: (b − 1) · 100 %. Das Minus zeigt die Abnahme — eingetragen wird nur die Zahl.

A5

Rechenkette: Preis mit drei Etiketten

AFB II

Ein Paar Sneaker kostet 120 €. Der Händler erhöht den Preis um 15 %, im Sale gibt es dann 30 % Rabatt und an der Kasse noch einmal 10 % auf den Sale-Preis. Berechne Schritt für Schritt (Beträge auf Cent genau).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Preis nach der Erhöhung €
Preis im Sale €
Preis an der Kasse €
Ersparnis gegenüber 120 € in % %

Gesamtfaktor 1,15 · 0,7 · 0,9 = 0,7245, also 72,45 % des Ausgangspreises — 27,55 % billiger. Wer „+15 − 30 − 10 = −25 %“ rechnet, liegt falsch: Jede Änderung bezieht sich auf den gerade aktuellen Preis.

Jede Änderung ist ein eigener Faktor: 1,15, dann 0,7, dann 0,9.

Für die Ersparnis: Endpreis : 120 € ergibt den Gesamtfaktor; 1 minus Gesamtfaktor, mal 100, ergibt den Prozentsatz.

A6

Fehlersuche im Schulheft

AFB II

Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Überprüfe jeden Satz.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Satz 4 ist der Klassiker: Die 40 % Zunahme beziehen sich auf den schon verkleinerten Wert und gleichen den Verlust deshalb nicht aus.

Wandle jede Angabe in einen Faktor um und rechne mehrere Schritte als Produkt.

Zwei Fehler verwechseln den Faktor mit dem Prozentsatz, einer addiert Prozente, statt Faktoren zu multiplizieren.

A7

Rückwärts zum alten Preis

AFB II

Nach einer Erhöhung um 8 % kostet der Jahresbeitrag eines Sportvereins 270 €. Nenne alle Rechnungen, die den alten Beitrag liefern.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Der alte Beitrag ist 250 €, denn 250 € · 1,08 = 270 €. „8 % abziehen“ (· 0,92) ergibt 248,40 € — die 8 % beziehen sich auf den alten Beitrag, nicht auf 270 €.

Stelle die Gleichung auf: alter Beitrag · Faktor = neuer Beitrag.

Rückwärts wird durch den Faktor geteilt, nicht mit 1 − p/100 multipliziert. Mache die Probe mit 250 €.

A8

Zwei Änderungen, ein Ergebnis

AFB III

Ein Artikel kostet 100 €. Nacheinander passieren zwei Preisänderungen. Schätze für jede Zeile ab, wo der Preis danach liegt — ohne genaue Rechnung.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = unter 95 €, 2 = 95 € bis unter 100 €, 3 = genau 100 €, 4 = über 100 € bis 105 €, 5 = über 105 €. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = unter 95 €5 = über 105 €

+30 %, dann −30 %

−4 %, dann +4 %

+6 %, dann −1 %

· 1,25, dann · 0,8

+4 %, dann +4 %

Genau: 1,3 · 0,7 = 0,91 → 91 €; 0,96 · 1,04 = 0,9984 → 99,84 €; 1,06 · 0,99 = 1,0494 → 104,94 €; 1,25 · 0,8 = 1 → 100 €; 1,04² = 1,0816 → 108,16 €. Gleich großes Plus und Minus führt immer unter den Ausgangswert — umso deutlicher, je größer der Prozentsatz.

Schreibe jede Zeile als Produkt zweier Faktoren und überlege, ob es größer oder kleiner als 1 ist.

Merke: (1 + a) · (1 − a) = 1 − a² — das ist immer etwas kleiner als 1 (binomische Formel).

A9

Trickaufgabe — doppelt und halb

AFB III

Der Wert einer Sammelkarte steigt in einem Jahr um 100 % und fällt im nächsten Jahr um 50 %. Bestimme die gesamte prozentuale Änderung über beide Jahre und stelle sie am Regler ein.

Schiebe den Regler auf deinen Wert — Pfeiltasten bewegen ihn in Einerschritten. Der Regler muss exakt stimmen.

−100 %+100 %

+100 % heißt b = 2, −50 % heißt b = 0,5. 2 · 0,5 = 1: Die Karte ist genau so viel wert wie am Anfang, Änderung 0 %. Die Falle ist „100 − 50 = +50 %“ — der Regler startet genau dort.

Übersetze beide Änderungen in Faktoren.

Verdoppeln und danach halbieren — was passiert mit dem Wert?

A10

Welches Angebot ist am günstigsten?

AFB III

Eine Jacke kostet regulär 80 €. Vergleiche die fünf Angebote und bringe sie in die Reihenfolge vom günstigsten zum teuersten Endpreis.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1erst 20 % Rabatt, dann weitere 15 % auf den reduzierten Preis

225 € Rabatt auf den Normalpreis

330 % Rabatt

4erst 10 % Aufschlag, dann 35 % Rabatt

5dreimal nacheinander 10 % Rabatt

Endpreise: 80 · 0,8 · 0,85 = 54,40 €; 55,00 €; 80 · 0,7 = 56,00 €; 80 · 1,1 · 0,65 = 57,20 €; 80 · 0,9³ = 58,32 €. „Dreimal 10 %“ ist nicht 30 %, denn 0,9³ = 0,729 — nur 27,1 % Rabatt.

Berechne für jedes Angebot den Gesamtfaktor und dann den Endpreis.

0,8 · 0,85 = 0,68 und 0,9 · 0,9 · 0,9 = 0,729 — vergleiche mit 0,7 (30 % Rabatt).

Übungen: Wachstumsfaktor und Prozent

Übungsaufgaben