Die Jahreskarte im Freizeitpark
AFB I–IIEin Freizeitpark hat den Preis seiner Jahreskarte in den letzten Jahren regelmäßig erhöht:
| Jahr | 2021 | 2022 | 2023 | 2024 |
|---|---|---|---|---|
| Preis | 160,00 € | 167,20 € | 174,72 € | 182,59 € |
- Geben Sie den jährlichen Wachstumsfaktor und die zugehörige prozentuale Preiserhöhung an.
- Berechnen Sie den Preis für 2026, wenn die Erhöhungen so weitergehen.
- Für 2025 kündigt der Park stattdessen eine Erhöhung um \(12\,\%\) an, für 2026 wegen einer Großbaustelle eine Senkung um \(7\,\%\). Ein Stammgast meint: „Unterm Strich sind das \(5\,\%\) mehr als 2024.“ Erklären Sie, warum der Stammgast nicht richtig liegt, und geben Sie die tatsächliche Änderung an.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\frac{167{,}20}{160}=1{,}045\); \(\frac{174{,}72}{167{,}20}\approx1{,}045\); \(\frac{182{,}59}{174{,}72}\approx1{,}045\).
Wachstumsfaktor \(b=1{,}045\): Der Preis steigt jedes Jahr um \(4{,}5\,\%\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
2025: \(182{,}59\,€\cdot1{,}045\approx190{,}81\,€\); 2026: \(190{,}81\,€\cdot1{,}045\approx199{,}39\,€\).
Die Jahreskarte würde 2026 etwa \(199{,}39\,€\) kosten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die \(7\,\%\) beziehen sich auf den bereits um \(12\,\%\) erhöhten Preis, deshalb darf man die Prozentsätze nicht einfach verrechnen. Faktoren multiplizieren: \(1{,}12\cdot0{,}93=1{,}0416\).
Tatsächlich steigt der Preis um \(4{,}16\,\%\) gegenüber 2024: \(182{,}59\,€\cdot1{,}0416\approx190{,}19\,€\). Der Stammgast überschätzt die Erhöhung leicht.
Inflation und Taschengeld
AFB II–IIIDie Inflationsrate gibt an, um wie viel Prozent die Verbraucherpreise gegenüber dem Vorjahr gestiegen sind. Lenas Taschengeld wurde von \(30\,€\) im Jahr 2020 auf \(33\,€\) im Jahr 2023 erhöht.
- Ermitteln Sie, um wie viel Prozent die Preise von 2020 bis 2023 insgesamt gestiegen sind.
- Untersuchen Sie, ob Lena sich 2023 von ihrem Taschengeld mehr oder weniger kaufen kann als 2020.
- Tom rechnet: „\(3{,}1+6{,}9+5{,}9=15{,}9\). Die Preise sind um \(15{,}9\,\%\) gestiegen, im Schnitt also um \(5{,}3\,\%\) pro Jahr.“ Beurteilen Sie Toms Rechnung.
- Anfang 2025 sagt jemand: „Die Inflation ist auf \(2{,}2\,\%\) gesunken — endlich werden die Sachen wieder billiger.“ Nehmen Sie Stellung zu dieser Aussage.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(1{,}031\cdot1{,}069\cdot1{,}059\approx1{,}1672\).
Die Preise sind von 2020 bis 2023 insgesamt um etwa \(16{,}7\,\%\) gestiegen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Taschengeld: \(\frac{33}{30}=1{,}1\), also \(+10\,\%\) — weniger als \(+16{,}7\,\%\).
In Preisen von 2020 sind \(33\,€\) nur \(\frac{33\,€}{1{,}1672}\approx28{,}27\,€\) wert. Lena kann sich 2023 etwa \(5{,}8\,\%\) weniger kaufen als 2020 \(\left(\frac{28{,}27}{30}\approx0{,}942\right)\), obwohl sie mehr Geld bekommt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Das Addieren ist falsch: Jede Rate bezieht sich auf das bereits gestiegene Preisniveau des Vorjahres, deshalb müssen Faktoren multipliziert werden. Richtig sind \(16{,}7\,\%\) statt \(15{,}9\,\%\).
Der Durchschnitt ist der gleiche Faktor \(b\) mit \(b^3=1{,}1672\): \(b=\sqrt[3]{1{,}1672}\approx1{,}0529\), also etwa \(5{,}3\,\%\) pro Jahr. Toms Durchschnitt stimmt hier nur zufällig fast, weil die Raten klein sind.
Urteil: Der Durchschnitt ist brauchbar, die Gesamtsteigerung ist um knapp einen Prozentpunkt zu niedrig und der Rechenweg falsch.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Eine Inflationsrate von \(2{,}2\,\%\) bedeutet \(b=1{,}022>1\): Die Preise steigen weiter, nur langsamer als in den Jahren davor. Gegenüber 2020 liegt das Preisniveau 2024 sogar bei \(1{,}1672\cdot1{,}022\approx1{,}193\), also etwa \(19{,}3\,\%\) höher.
Billiger würde es erst bei einer negativen Rate (\(b<1\)). Die Aussage verwechselt die sinkende Rate mit sinkenden Preisen und ist deshalb falsch.