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Wachstumsfaktor und Prozent

Warum landet man nach 10 % Aufschlag und anschließend 10 % Rabatt nicht wieder beim alten Preis?

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Vom Prozentsatz zum Faktor

Ändert sich eine Größe pro Schritt um denselben Prozentsatz, wächst sie exponentiell — der Prozentsatz steckt im Wachstumsfaktor \(b\).

  • Zunahme um \(p\,\%\):\(b=1+\frac{p}{100}\) — z. B. 5 % mehr: \(b=1{,}05\).
  • Abnahme um \(p\,\%\):\(b=1-\frac{p}{100}\) — z. B. 20 % weniger: \(b=0{,}8\).
  • Bedeutung:Die \(1\) steht für die alten 100 %, \(\frac{p}{100}\) für das Stück, das dazukommt oder wegfällt.

Wähle oben einen Prozentsatz, schneide das Prozent-Stück ab und lege es um — ziehen oder Pfeiltasten auf dem Stück. „Nächster Schritt“ wiederholt das mit dem neuen Balken.

Prozent-Streifen

Halte fest: Nach dem Umlegen ist der neue Balken \(b\cdot 100\,\%\) des alten. Weil jeder Schritt vom neuen Balken ausgeht, wird das Prozent-Stück bei Zunahme immer größer, bei Abnahme immer kleiner.

Herleitung:

\(K_{\text{neu}}=K+K\cdot\frac{p}{100}\)
| \(K\) ausklammern
Start: alter Wert \(K\) plus \(p\,\%\) davon.
\(K_{\text{neu}}=K\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)\)
| Faktor benennen
\(K\) steckt in beiden Summanden — Distributivgesetz rückwärts.
\(K_{\text{neu}}=K\cdot b\;\) mit \(\;b=1+\frac{p}{100}\)
Ergebnis
Bei Abnahme genauso: \(K-K\cdot\frac{p}{100}=K\cdot\left(1-\frac{p}{100}\right)\).
Merke

Wachstumsfaktor: Zunahme um \(p\,\%\): \(b=1+\frac{p}{100}\) · Abnahme um \(p\,\%\): \(b=1-\frac{p}{100}\)

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Vom Faktor zum Prozentsatz

Umgekehrt verrät der Faktor, ob und um wie viel Prozent sich eine Größe pro Schritt ändert.

  • Richtung:\(b>1\) Zunahme, \(0<b<1\) Abnahme, \(b=1\) keine Änderung.
  • Prozentsatz:\(p\,\%=(b-1)\cdot 100\,\%\) — das Vorzeichen zeigt die Richtung.
  • Beispiele:\(b=1{,}12\): \((1{,}12-1)\cdot 100\,\%=+12\,\%\) · \(b=0{,}93\): \((0{,}93-1)\cdot 100\,\%=-7\,\%\).
  • Mehrere Schritte:Faktoren multiplizieren, Prozentsätze nicht addieren.
  • Beispiel:\(+10\,\%\), danach \(-10\,\%\): \(1{,}1\cdot 0{,}9=0{,}99\) — insgesamt \(-1\,\%\), nicht \(0\,\%\).
  • Beispiel:zwei Jahre je \(+5\,\%\): \(1{,}05\cdot 1{,}05=1{,}1025\) — insgesamt \(+10{,}25\,\%\), nicht \(+10\,\%\).
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Allgemeine Hinweise

Abnahme: nicht einfach p/100

20 % weniger heißt \(b=0{,}8\), nicht \(b=0{,}2\). Die \(0{,}2\) ist nur der Anteil, der wegfällt — übrig bleiben 80 %.

Prozente nicht verrechnen

\(+20\,\%\) und danach \(-20\,\%\) ergibt \(1{,}2\cdot 0{,}8=0{,}96\): am Ende 4 % weniger als am Anfang.

Faktoren über 2 sind erlaubt

Verdopplung ist \(+100\,\%\) (\(b=2\)), Verdreifachung \(+200\,\%\) (\(b=3\)). Der Faktor ist nie negativ.

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