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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Sortieren, Ergänzen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, decke die Tipps nacheinander auf.
A1
Faktor oder Summand?
AFB IOrdne jede Wertetabelle (x = 0, 1, 2, 3) der passenden Wachstumsart zu. Prüfe dabei alle Schritte, nicht nur den ersten.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1linear (gleiche Differenzen)
2exponentiell (gleiche Quotienten)
3weder noch
„50; 40; 32; 24“ ist die Falle: Die ersten beiden Quotienten sind 0,8, der letzte ist 24 : 32 = 0,75 — und auch die Differenzen (−10; −8; −8) sind nicht alle gleich. Bei „3; 5; 9; 17“ verdoppeln sich die Differenzen, die Quotienten (≈ 1,67; 1,8; 1,89) aber nicht. Wer nur den ersten Schritt ansieht, sortiert beide falsch.
Rechne für jede Karte zuerst die drei Differenzen neu − alt aus. Sind alle gleich, ist die Karte linear.
Sonst die drei Quotienten neu : alt bilden. Stimmen alle drei überein, ist die Karte exponentiell — weicht auch nur einer ab, gehört sie zu „weder noch“.
A2
Eine Tabelle, sechs Behauptungen
AFB IEin Bestand wurde täglich gemessen:
| Tag | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Bestand | 1250 | 750 | 450 | 270 | 162 |
Gib alle Aussagen an, die zu dieser Tabelle passen.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
„Jeden Tag −500“ stimmt nur für den ersten Schritt (danach −300, −180 …). 1250 : 750 ist alt : neu — so entsteht 1/b und aus der Abnahme wird scheinbar eine Zunahme. Und b ist nie negativ: 0 < b < 1 bedeutet Abnahme.
Bilde die Quotienten neu : alt, also 750 : 1250, 450 : 750 usw.
Liegt b zwischen 0 und 1, werden die Werte kleiner. Den Wert für Tag 5 bekommst du mit 162 · b.
A3
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IBestätige nur die Aussagen über lineares und exponentielles Wachstum, die wirklich stimmen.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Merke: gleiche Differenzen — linear, gleiche Quotienten — exponentiell. Beides nur bei gleicher Schrittweite prüfen.
Überlege bei jeder Aussage: Wird addiert oder multipliziert?
Achte bei Tabellen immer auch auf die x-Spalte: Wachsen die x-Werte in gleichen Schritten?
A4
Lücken in der Messreihe
AFB IIEine Messreihe wächst exponentiell, aber drei Werte fehlen. Ermittle den Wachstumsfaktor b und die fehlenden Werte. Tipp zur Kontrolle: Alle Ergebnisse sind abbrechende Dezimalzahlen.
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 36 | 81 |
Wachstumsfaktor b =
Von x = 1 bis x = 3 sind es zwei Schritte: 81 : 36 = 2,25 = b · b, also b = √2,25 = 1,5. Dann 36 : 1,5 = 24, 36 · 1,5 = 54, 81 · 1,5 = 121,5. Typischer Fehler: 81 : 36 = 2,25 direkt als b nehmen.
Zwischen x = 1 und x = 3 liegen zwei Schritte. Der Quotient 81 : 36 ist deshalb b · b.
Welche Zahl mal sich selbst ergibt 2,25? Rückwärts (x = 0) teilst du durch b, vorwärts multiplizierst du.
A5
Rückwärts zum Faktor
AFB II MixBei einem exponentiellen Wachstum mit gleichen x-Schritten gehört zu x = 2 der Wert 0,32 und zu x = 5 der Wert 40. Bestimme den Wachstumsfaktor b.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
40 : 0,32 = 125. Von x = 2 bis x = 5 sind es drei Schritte, also b³ = 125 und b = ∛125 = 5 (Kapitel 3: dritte Wurzel). Wer 125 : 3 ≈ 41,7 rechnet, teilt statt die Wurzel zu ziehen.
Wie oft wird von x = 2 bis x = 5 mit b multipliziert? Der Quotient 40 : 0,32 ist dieses Produkt.
Du suchst eine Zahl b mit b · b · b = 125 — das ist die dritte Wurzel aus 125.
A6
Achtung, Schrittweite!
AFB IIUntersuche die Tabellen genau — auch die x-Werte — und verbinde jede mit der Änderung pro x-Einheit.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Gleiche y-Werte, andere x-Schritte, andere Antwort: Bei Schritten von 2 ist der Quotient b², die Differenz 2 · d. Deshalb wird aus dem Quotienten 4 der Faktor b = 2 und aus 9 der Faktor b = 3.
Bestimme zuerst für jede Tabelle den Quotienten bzw. die Differenz zwischen zwei Nachbarspalten.
Wachsen die x-Werte um 2, steckt im Quotienten b · b und in der Differenz 2 · d. Ziehe die Wurzel bzw. halbiere.
A7
Fehlersuche im Schulheft
AFB IISechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Überprüfe jeden Satz.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am teuersten ist in Arbeiten Satz 2: Wer nur den ersten Schritt ansieht, hält „verdoppelt“ für den Faktor. Immer alle Quotienten prüfen.
Prüfe bei jeder Tabelle alle Quotienten neu : alt und alle Differenzen.
Zwei Sätze scheitern an einer Regel aus dem Merkkasten (neu durch alt, gleiche Schrittweite), einer daran, dass nur ein Schritt geprüft wurde.
A8
Wer überholt wen?
AFB IIIZwei neue Kanäle auf einer Videoplattform: Kanal A startet mit 2000 Followern und gewinnt jede Woche 600 dazu. Kanal B startet mit 512 Followern, deren Zahl sich jede Woche mit 1,5 multipliziert. Berechne Schritt für Schritt.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Follower von B nach 2 Wochen
- Vorsprung von A nach 4 Wochen
- erste volle Woche, nach der B vor A liegt
- Zuwachs von B in der 7. Woche
Tabelle: A 2600, 3200, 3800, 4400, 5000, 5600 — B 768, 1152, 1728, 2592, 3888, 5832. Nach 6 Wochen liegt B mit 5832 vor A mit 5600. In Woche 7 gewinnt B 8748 − 5832 = 2916 Follower, A weiterhin nur 600: Der Zuwachs von B wächst selbst mit.
Lege eine Tabelle für die Wochen 0 bis 7 an: A immer +600, B immer · 1,5.
Der Zuwachs von B in Woche 7 ist der Wert nach 7 Wochen minus der Wert nach 6 Wochen — oder einfach die Hälfte des Werts nach 6 Wochen.
A9
Trickaufgabe — gleiche Quotienten
AFB IIIGegeben ist die Tabelle mit x = 0, 1, 2, 3 und y = 3; −6; 12; −24. Entscheide mithilfe des Baums, welche Wachstumsart vorliegt.
Beantworte die Fragen mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
Alle Quotienten sind −2 — das sieht nach exponentiellem Wachstum aus. Ein Wachstumsfaktor muss aber positiv sein (b > 0): Hier springen die Werte zwischen positiv und negativ hin und her, ein Bestand kann das nicht. Also weder linear noch exponentiell.
Rechne die Quotienten wirklich aus — mit Vorzeichen.
Lies im Merkkasten nach, welche Bedingung für den Faktor b gilt.
A10
Zehn Schritte weiter
AFB IIIEin Bestand von 100 wächst zehn Schritte lang. Schätze für jede Zeile ab, wo er danach landet — ohne Taschenrechner, höchstens mit Überschlag.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = kleiner als 100, 2 = genau 100, 3 = mehr als 100, aber weniger als 200, 4 = 200 bis 1000, 5 = mehr als 1000. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = kleiner als 1005 = mehr als 1000
Faktor 1,3 pro Schritt
Faktor 0,95 pro Schritt
Faktor 1,05 pro Schritt
+50 pro Schritt
Faktor 1,2 pro Schritt
Genau: 1,3¹⁰ ≈ 13,8 (→ 1379), 0,95¹⁰ ≈ 0,60 (→ 60), 1,05¹⁰ ≈ 1,63 (→ 163), linear 100 + 10 · 50 = 600, 1,2¹⁰ ≈ 6,19 (→ 619). Überschlag: 1,3² ≈ 1,7 und 1,7⁵ ist schon über 10. Der kleine Faktor 1,05 wirkt harmlos — und landet doch unter dem linearen +50.
Zehn Schritte mit Faktor b heißt: zehnmal mit b multiplizieren, also 100 · b¹⁰ (Kapitel 3: Potenzen).
Überschlag in Paaren: 1,2² ≈ 1,44 und 1,44⁵ — oder 1,3² ≈ 1,69, das ist fast 1,7; fünfmal hintereinander ist das schon mehr als 10.