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Textaufgaben: Exponentielles Wachstum

Pantoffeltierchen im Labor und eine Pflanze, die ein Flussufer erobert — wie weit trägt der Faktor?

1

Pantoffeltierchen im Labor

AFB I–II

In einem Biologie-Praktikum wird eine Kultur von Pantoffeltierchen in frischer Nährlösung beobachtet. Jeden Tag zur gleichen Uhrzeit wird die Anzahl der Tierchen pro Milliliter bestimmt (gerundete Zählwerte):

Tag01234
Anzahl pro ml4072130233420
Pantoffeltierchen pro ml
010020030040001234TagAnzahl pro ml4072130233420
Die Messwerte aus der Tabelle — die Abstände zwischen den Punkten werden immer größer.
  1. Berechnen Sie die Differenzen und die Quotienten aufeinanderfolgender Anzahlen (Quotienten auf zwei Nachkommastellen).
  2. Begründen Sie, dass exponentielles Wachstum die Messwerte gut beschreibt, und nennen Sie einen passenden Wachstumsfaktor \(b\).
  3. Bestimmen Sie mit diesem Faktor, wie viele Pantoffeltierchen pro ml nach 5 und nach 6 Tagen zu erwarten sind.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Differenz: \(y_{\text{neu}}-y_{\text{alt}}\), Quotient: \(\frac{y_{\text{neu}}}{y_{\text{alt}}}\) — jeweils viermal.
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche, welche der beiden Größen (fast) gleich bleibt. Kleine Abweichungen entstehen durch das Runden der Zählwerte.
Hinweis zu Aufgabe c)
Jeder neue Tag: alter Wert mal \(b\). Starte beim letzten Messwert.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Differenzen: \(32;\ 58;\ 103;\ 187\) — sie sind nicht gleich, sondern wachsen stark.

Quotienten: \(\frac{72}{40}=1{,}80\); \(\frac{130}{72}\approx1{,}81\); \(\frac{233}{130}\approx1{,}79\); \(\frac{420}{233}\approx1{,}80\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Quotienten sind bis auf Rundungsschwankungen gleich (\(\approx 1{,}8\)), die Differenzen nicht. Also wird pro Tag mit demselben Faktor multipliziert: exponentielles Wachstum mit \(b\approx1{,}8\). Ein lineares Modell passt nicht, weil sich die Differenzen fast jeden Tag verdoppeln.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Tag 5: \(420\cdot1{,}8=756\). Tag 6: \(756\cdot1{,}8=1360{,}8\approx1361\).

Nach 5 Tagen sind etwa 756, nach 6 Tagen etwa 1 361 Pantoffeltierchen pro ml zu erwarten.

2

Springkraut erobert das Ufer

AFB II–III

Das Drüsige Springkraut ist eine eingeschleppte Pflanze, die heimische Uferpflanzen verdrängt. Ein Naturschutzverein hat an einem Flussufer die bewachsene Fläche gemessen — allerdings nicht in jedem Jahr. Der Uferstreifen ist insgesamt \(1\,200\,\mathrm{m^2}\) groß.

Jahr2017201920212022
Fläche in m²4090203304
Bewachsene Fläche am Flussufer
040080012002017201820192020202120222023202420252026JahrFläche in m²Uferstreifen: 1 200 m²4090203304
Die Messungen liegen nicht in gleichen Abständen: 2018 und 2020 fehlen.
  1. Ein Vereinsmitglied rechnet \(90:40=2{,}25\) und schließt: „Die Fläche wächst jedes Jahr auf das \(2{,}25\)-Fache.“ Erläutern Sie den Denkfehler und geben Sie den jährlichen Faktor an.
  2. Weisen Sie nach, dass alle Messwerte bis auf Rundung zu einem jährlichen Faktor \(b=1{,}5\) passen.
  3. Ein anderes Mitglied schlägt ein lineares Modell vor: jedes Jahr \(52{,}8\,\mathrm{m^2}\) mehr, weil \((304-40):5=52{,}8\). Vergleichen Sie beide Modelle anhand der Messwerte von 2019 und 2021.
  4. Beurteilen Sie, ob das exponentielle Modell die Fläche bis zum Jahr 2026 sinnvoll vorhersagen kann.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Wie viele Jahre liegen zwischen 2017 und 2019? Wie oft wurde in dieser Zeit mit \(b\) multipliziert?
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechne von 40 aus mit \(1{,}5\) weiter — Jahr für Jahr, auch in den Jahren ohne Messung.
Hinweis zu Aufgabe c)
Setze die Jahre 2019 und 2021 in beide Modelle ein und vergleiche mit den Messwerten.
Hinweis zu Aufgabe d)
Rechne das exponentielle Modell Jahr für Jahr bis 2026 weiter und vergleiche mit der Größe des Uferstreifens. Überlege, was in der Natur dagegen spricht.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Zwischen 2017 und 2019 liegen zwei Jahre, also zwei Faktoren: \(b\cdot b=b^2=2{,}25\). Der Fehler: Der Quotient wurde als Faktor pro Jahr gedeutet, obwohl die Schrittweite 2 Jahre ist.

\(b=\sqrt{2{,}25}=1{,}5\) — die Fläche wächst jedes Jahr auf das \(1{,}5\)-Fache.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(40\cdot1{,}5\cdot1{,}5=90\) ✓ (2019)
\(90\cdot1{,}5\cdot1{,}5=202{,}5\approx203\) ✓ (2021)
\(202{,}5\cdot1{,}5=303{,}75\approx304\) ✓ (2022)

Alle Messwerte werden bis auf Rundung getroffen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Linear: 2019: \(40+2\cdot52{,}8=145{,}6\,\mathrm{m^2}\) (gemessen 90), 2021: \(40+4\cdot52{,}8=251{,}2\,\mathrm{m^2}\) (gemessen 203) — Abweichungen von etwa 56 und 48 m².

Exponentiell: 90 und 202,5 m² — praktisch exakt. Das lineare Modell stimmt nur am Anfang und am Ende, weil es genau durch diese beiden Punkte gelegt wurde; das exponentielle Modell beschreibt die Daten deutlich besser.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Weiterrechnen: 2023: \(\approx456\), 2024: \(\approx683\), 2025: \(\approx1\,025\), 2026: \(\approx1\,538\,\mathrm{m^2}\).

Für 2026 liefert das Modell mehr Fläche, als der Uferstreifen überhaupt hat — das ist unmöglich. Je knapper der freie Platz wird, desto langsamer muss die Fläche wachsen; außerdem können Bekämpfung durch den Verein oder Hochwasser das Wachstum bremsen.

Urteil: Für ein bis zwei Jahre ist das Modell brauchbar, als Vorhersage für 2026 nicht. Die Warnung, dass bald das ganze Ufer bewachsen sein kann, stützt es aber.