Exponentielles Wachstum

Bei Wachstum ändert sich eine Größe Schritt für Schritt. Entscheidend ist, wie sie sich pro Schritt ändert.

• Linear:pro Schritt wird derselbe Wert \(d\) addiert (\(d<0\): Abnahme).
• Beispiel linear:Sparschwein mit 20 €, jede Woche kommen 5 € dazu: 20 €, 25 €, 30 €, 35 € … — immer \(+5\).
• Exponentiell:pro Schritt wird mit demselben Faktor \(b\) multipliziert (\(b>0\)).
• Beispiel exponentiell:Seerosenteppich mit 5 m², die Fläche verdoppelt sich jede Woche: 5 m², 10 m², 20 m², 40 m² … — immer \(\cdot 2\).
• Langfristig:Für \(b>1\) überholt exponentielles Wachstum jedes lineare, auch wenn es langsam startet.
• Vergleich:Start je 100, linear \(+50\), exponentiell \(\cdot 1{,}2\): nach 5 Schritten 350 gegen \(\approx 249\), nach 20 Schritten 1 100 gegen \(\approx 3\,834\).

In einer Tabelle vergleicht man aufeinanderfolgende Werte — einmal mit der Differenz, einmal mit dem Quotienten.

• Differenzen gleich:\(y_{\text{neu}}-y_{\text{alt}}\) ist immer derselbe Wert \(d\) — lineares Wachstum.
• Quotienten gleich:\(\frac{y_{\text{neu}}}{y_{\text{alt}}}\) ist immer derselbe Wert \(b\) — exponentielles Wachstum, \(b\) heißt Wachstumsfaktor.
• \(0<b<1\):Die Werte werden kleiner — exponentielle Abnahme.
• Weder noch:Sind weder Differenzen noch Quotienten gleich, ist das Wachstum weder linear noch exponentiell.
• Schrittweite:Die \(x\)-Werte müssen gleichmäßig wachsen (z. B. immer \(+1\) Jahr), sonst sagen Differenzen und Quotienten nichts.
• Beispiel:1 600; 1 200; 900; 675: Quotienten \(\frac{1200}{1600}=\frac{900}{1200}=\frac{675}{900}=0{,}75\) — exponentielle Abnahme mit \(b=0{,}75\).

Sieh dir die Tabelle an und tippe zuerst: linear, exponentiell oder weder noch? Erst dann „Prüfen“ — Bögen zeigen Differenzen und Quotienten, dazu erscheint der Graph.

Halte fest: Erst die Quotienten und Differenzen nachrechnen, dann urteilen — ein kleiner Faktor wie \(1{,}1\) sieht anfangs fast linear aus, ist aber exponentiell.