Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Aussagen widerlegen, Modelle beurteilen, Fehler finden und allgemein zeigen. Formuliere deine Antwort in ganzen Sätzen, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Ein Mitschüler behauptet: „Ein Auto verliert jedes Jahr \(10\,\%\) seines Werts. Nach 10 Jahren ist es also nichts mehr wert.“ Widerlegen Sie die Aussage mit einer Rechnung.
Hinweis: Worauf beziehen sich die \(10\,\%\) in jedem neuen Jahr?
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Musterlösung: Der Wert sinkt jedes Jahr auf das \(0{,}9\)-Fache des Vorjahreswerts, nicht um \(10\,\%\) des Neupreises. Nach 10 Jahren bleibt das \(0{,}9^{10}\approx0{,}349\)-Fache übrig. Ein Auto für \(20\,000\) € ist dann noch etwa \(6\,974\) € wert. Die Behauptung ist falsch: Sie addiert die Prozentsätze wie bei linearer Abnahme. Bei exponentieller Abnahme wird der Wert nie null, weil \(0{,}9^t>0\) für alle \(t\) gilt.
Zeigen Sie allgemein: Bei \(f(t)=a\cdot b^t\) mit \(a>0\) und \(b>1\) hängt die Verdopplungszeit \(T_D\) weder vom Startwert \(a\) noch vom Zeitpunkt \(t\) ab.
Hinweis: Schreiben Sie „nach der Zeit \(T_D\) ist der Wert doppelt so groß“ als Gleichung.
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Musterlösung: Nach der Zeit \(T_D\) soll gelten: \(f(t+T_D)=2\cdot f(t)\), also \(a\cdot b^t\cdot b^{T_D}=2\cdot a\cdot b^t\). Da \(a\cdot b^t\) nie null ist, darf man dadurch teilen und erhält \(b^{T_D}=2\), also \(T_D=\log_b(2)\). In diesem Ergebnis kommen weder \(a\) noch \(t\) vor. Die Verdopplungszeit hängt nur vom Wachstumsfaktor ab — egal, ob man mit 10 oder 10 000 beginnt und zu welchem Zeitpunkt man startet.
Ein Fahrradladen erhöht einen Preis zwei Jahre nacheinander um je \(10\,\%\) und senkt ihn dann um \(20\,\%\). Der Chef sagt: „Damit sind wir wieder genau beim alten Preis.“ Beurteilen Sie die Aussage.
Hinweis: Prozentuale Änderungen wirken immer auf den jeweils aktuellen Preis.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Die Gesamtänderung ist \(1{,}1\cdot1{,}1\cdot0{,}8=0{,}968\): Der Preis liegt am Ende \(3{,}2\,\%\) unter dem Ausgangspreis. Beispiel: Aus 1 000 € werden 1 100 €, dann 1 210 €, nach der Senkung 968 €. Der Chef hat die Prozentsätze addiert (\(+10+10-20=0\)); die Senkung um \(20\,\%\) bezieht sich aber auf den schon erhöhten Preis.
Mia löst \(3\cdot2^x=48\) so: „\(3\cdot2^x=6^x\), also \(6^x=48\) und \(x=\log_6(48)\approx2{,}16\).“ Überprüfen Sie Mias Lösung.
Hinweis: Eine Probe durch Einsetzen deckt den Fehler auf.
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Musterlösung: Die Probe zeigt, dass Mias Ergebnis falsch ist: \(3\cdot2^{2{,}16}\approx13{,}4\), nicht \(48\). Der Fehler steckt im ersten Schritt: \(3\cdot2^x\) ist nicht \(6^x\), weil die Potenz vor der Multiplikation ausgewertet wird (z. B. \(x=2\): \(3\cdot4=12\), aber \(6^2=36\)). Richtig: durch 3 teilen, \(2^x=16=2^4\), also \(x=4\). Probe: \(3\cdot16=48\) ✓.
Eine Flasche Saft mit \(22\) °C kommt in einen Kühlschrank, der auf \(2\) °C eingestellt ist.
| \(t\) in min | 0 | 20 | 40 | 60 |
|---|---|---|---|---|
| \(T\) in °C | 22 | 14 | 9,2 | 6,32 |
Legen Sie sich begründet auf ein Modell fest: linear, exponentiell oder begrenzt.
Hinweis: Untersuchen Sie Differenzen, Quotienten — und den Abstand zur Kühlschranktemperatur.
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Musterlösung: Die Differenzen sind nicht konstant, ein lineares Modell scheidet aus. Die Quotienten der Temperaturen steigen (\(0{,}64\); \(0{,}66\); \(0{,}69\)), also ist auch rein exponentielle Abnahme ungeeignet — sie würde gegen 0 °C gehen, der Kühlschrank hat aber 2 °C. Die Abstände zur Grenze \(2\) °C schrumpfen dagegen alle 20 Minuten mit dem festen Faktor \(0{,}6\) (\(20\to12\to7{,}2\to4{,}32\)). Ich lege mich auf begrenzte Abnahme fest: \(T(t)=2+20\cdot0{,}6^{t/20}\).
Ein Blatt Papier ist \(0{,}1\,\mathrm{mm}\) dick; bei jedem Falten verdoppelt sich die Dicke. Entwickeln Sie einen Lösungsweg, mit dem man herausfindet, nach wie vielen Faltungen der Stapel theoretisch bis zum Mond (\(384\,400\,\mathrm{km}\)) reicht, und führen Sie ihn aus.
Hinweis: Denken Sie zuerst an die Einheiten und an die Frage „ab welchem \(n\)?“.
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Musterlösung: Lösungsweg: (1) Modell \(d(n)=0{,}1\cdot2^n\) in mm. (2) Entfernung umrechnen: \(384\,400\,\mathrm{km}=3{,}844\cdot10^{8}\,\mathrm m=3{,}844\cdot10^{11}\,\mathrm{mm}\). (3) Bedingung \(0{,}1\cdot2^n\ge3{,}844\cdot10^{11}\), also \(2^n\ge3{,}844\cdot10^{12}\). (4) \(n\ge\log_2(3{,}844\cdot10^{12})\approx41{,}8\). (5) Weil nur ganze Faltungen möglich sind: nach 42 Faltungen. Kritik: Real lässt sich Papier nur etwa sieben- bis achtmal falten — das Modell zeigt nur, wie schnell Verdoppeln wächst.
An einer Schule mit \(1\,200\) Schülerinnen und Schülern nutzen am ersten Tag 30 eine neue Lern-App; die Nutzerzahl steigt täglich um \(40\,\%\). Diskutieren Sie, ob das Modell \(N(t)=30\cdot1{,}4^t\) für die nächsten zwei Wochen taugt.
Hinweis: Rechnen Sie das Modell bis zum Ende des Zeitraums durch und vergleichen Sie mit der Schülerzahl.
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Musterlösung: Für das Modell spricht die Anfangsphase: Jeder Nutzer wirbt weitere, der tägliche Faktor kann dann etwa konstant sein. Dagegen spricht die Rechnung: \(N(14)=30\cdot1{,}4^{14}\approx3\,334\) — mehr als die Schule Schülerinnen und Schüler hat. Schon nach \(t=\log_{1{,}4}(40)\approx11\) Tagen überschreitet das Modell die Grenze 1 200. Je mehr Schülerinnen und Schüler die App schon haben, desto weniger neue gibt es. Fazit: Für die ersten Tage ist das exponentielle Modell brauchbar, für zwei Wochen nicht; dafür passt ein begrenztes Modell mit der Schranke 1 200.
Formulieren Sie in Worten, was \(\log_2(0{,}125)\) bedeutet, welchen Wert dieser Logarithmus hat und warum \(\log_2(-8)\) nicht existiert.
Hinweis: Ein Logarithmus ist eine Hochzahl.
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Musterlösung: \(\log_2(0{,}125)\) ist die Hochzahl, mit der man die Basis 2 potenzieren muss, um \(0{,}125\) zu erhalten. Wegen \(0{,}125=\tfrac18=2^{-3}\) ist \(\log_2(0{,}125)=-3\). Dagegen gibt es keine Hochzahl \(x\) mit \(2^x=-8\): Jede Potenz einer positiven Basis ist positiv, der Graph von \(y=2^x\) verläuft vollständig oberhalb der \(x\)-Achse. Deshalb ist \(\log_2(-8)\) nicht definiert — Logarithmen gibt es nur von positiven Zahlen.
Bank A zahlt \(2{,}4\,\%\) Zinsen pro Jahr. Bank B zahlt \(0{,}2\,\%\) Zinsen pro Monat, die jeden Monat gutgeschrieben und mitverzinst werden. Bewerten Sie die beiden Angebote für eine Anlage über ein Jahr.
Hinweis: \(12\cdot0{,}2\,\%=2{,}4\,\%\) — ist das schon die ganze Wahrheit?
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Musterlösung: Bei Bank B wird zwölfmal mit dem Faktor \(1{,}002\) verzinst: \(1{,}002^{12}\approx1{,}02427\), effektiv also etwa \(2{,}43\,\%\) pro Jahr. Das ist mehr als bei A (\(2{,}4\,\%\)), weil die Zinsen schon während des Jahres mitverzinst werden. Bei \(10\,000\) € beträgt der Vorteil aber nur etwa \(2{,}66\) €. Bewertung: Rein rechnerisch ist B besser; der Unterschied ist so klein, dass Kontoführungskosten oder Kündigungsfristen die Entscheidung eher bestimmen sollten.
Ben zeichnet am GTR \(y=2^x\) und \(y=x^2\) im Fenster \(0\le x\le3\), findet mit G-Solv → ISCT nur den Schnittpunkt bei \(x=2\) und schreibt: „Die Gleichung \(2^x=x^2\) hat genau eine Lösung.“ Nehmen Sie Stellung.
Hinweis: Probieren Sie ganzzahlige \(x\) außerhalb des Fensters, auch negative.
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Musterlösung: Bens Aussage ist falsch; sein Vorgehen zeigt nur die Lösungen im gewählten Fenster. Außerhalb gibt es zwei weitere: \(x=4\), denn \(2^4=16=4^2\), und eine negative Lösung, weil \(2^x-x^2\) zwischen \(x=-1\) (\(0{,}5-1<0\)) und \(x=0\) (\(1-0>0\)) das Vorzeichen wechselt; mit dem GTR ergibt sich \(x\approx-0{,}77\). Die Gleichung hat also drei Lösungen. Fazit: Vor dem Schnittpunkt-Befehl das Fenster großzügig wählen (z. B. \(-3\le x\le6\)) und bei jedem Schnittpunkt ISCT erneut ausführen; Rechnerergebnisse gelten nur für das, was im Fenster sichtbar ist.