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Übung AFB II

Von Wasserlinsen über Koffein bis zum Podcast: zehn Sachaufgaben, in denen hinter jeder Zahl ein Wachstumsfaktor steckt.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Aufgaben aus allen Unterkapiteln: erst die Situation übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Wasserlinsen im Gartenteich
AFB II

Auf einem Gartenteich bedecken Wasserlinsen zu Beobachtungsbeginn \(12\,\mathrm{m^2}\). Die bedeckte Fläche wächst täglich um \(15\,\%\).

a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung für die bedeckte Fläche \(A(t)\) auf (\(t\) in Tagen). Welche Fläche ist nach 7 Tagen bedeckt? b) Nach wie vielen Tagen sind \(100\,\mathrm{m^2}\) bedeckt?

m²
Tage
Ansatz: Anfangswert \(12\), Faktor \(1{,}15\): \(A(t)=12\cdot1{,}15^t\). Für b) die Gleichung \(A(t)=100\) durch Logarithmieren lösen.
Rechenweg: a) \(1{,}15^7\approx2{,}66\), also \(12\cdot2{,}66\approx31{,}92\). b) \(1{,}15^t=\tfrac{100}{12}\approx8{,}33\) → \(t=\log_{1{,}15}\!\big(\tfrac{100}{12}\big)\).
Lösung: a) \(A(7)\approx31{,}92\,\mathrm{m^2}\) b) \(t\approx15{,}17\) Tage
Vollständige Lösung
\(A(t)=12\cdot1{,}15^t\). a) \(A(7)=12\cdot1{,}15^7\approx31{,}92\,\mathrm{m^2}\). b) \(12\cdot1{,}15^t=100\iff1{,}15^t=\tfrac{100}{12}\iff t=\log_{1{,}15}\!\big(\tfrac{100}{12}\big)\approx15{,}17\). Nach gut 15 Tagen sind \(100\,\mathrm{m^2}\) bedeckt. Hinweis: Erst durch den Anfangswert teilen, dann logarithmieren — \(12\cdot1{,}15\) darf nicht zusammengefasst werden.
A2
Wertverlust eines E-Bikes
AFB II

Ein E-Bike verliert jedes Jahr denselben Prozentsatz seines Werts. Nach 2 Jahren ist es noch \(1\,878{,}50\) € wert, nach 5 Jahren noch \(1\,153{,}63\) €. Modell: \(W(t)=a\cdot b^t\) (\(t\) in Jahren).

a) Ermitteln Sie den jährlichen Faktor \(b\). b) Welchen Neupreis \(a\) hatte das E-Bike?

€
Ansatz: Die beiden Punkte \((2\,|\,1878{,}50)\) und \((5\,|\,1153{,}63)\) einsetzen und die Gleichungen durcheinander teilen — dann fällt \(a\) weg.
Rechenweg: \(\tfrac{a\cdot b^5}{a\cdot b^2}=b^3=\tfrac{1153{,}63}{1878{,}50}\approx0{,}6141\) → \(b=\sqrt[3]{0{,}6141}\). Danach \(a=\tfrac{1878{,}50}{b^2}\).
Lösung: a) \(b\approx0{,}85\) b) \(a\approx2600\) €
Vollständige Lösung
Aus \(a\cdot b^2=1878{,}50\) und \(a\cdot b^5=1153{,}63\) folgt \(b^3\approx0{,}6141\), also \(b\approx0{,}85\). Dann \(a=\tfrac{1878{,}50}{0{,}85^2}=\tfrac{1878{,}50}{0{,}7225}=2600\). Das E-Bike kostete neu 2 600 € und verliert jährlich \(15\,\%\) seines Werts. Hinweis: Der Exponent 3 ist der Abstand der Zeitpunkte \(5-2\), nicht 5.
A3
Zwei Sparangebote
AFB II

Lina legt \(5\,000\) € an. Bei Angebot A kommen jedes Jahr fest \(180\) € dazu. Bei Angebot B gibt es \(3\,\%\) Zinsen pro Jahr mit Zinseszins.

a) Vergleichen Sie die Kontostände nach 10 Jahren: Um wie viel Euro liegt A vor B? b) Nach wie vielen vollen Jahren liegt B erstmals vorn?

€
Jahre
Ansatz: A wächst linear: \(A(t)=5000+180\,t\). B wächst exponentiell: \(B(t)=5000\cdot1{,}03^t\). Für b) eine Wertetabelle (GTR/CAS) ab \(t=10\) anlegen.
Rechenweg: a) \(A(10)=6800\), \(B(10)=5000\cdot1{,}03^{10}\approx6719{,}58\). b) \(t=12\): \(7160\) gegen \(7128{,}80\); \(t=13\): \(7340\) gegen \(7342{,}67\).
Lösung: a) \(80{,}42\) € b) nach 13 Jahren
Vollständige Lösung
a) \(6800-6719{,}58=80{,}42\) €: Nach 10 Jahren ist A noch um \(80{,}42\) € besser. b) Die Tabelle zeigt, dass B im 13. Jahr überholt (\(7342{,}67\) € gegen \(7340\) €). Danach wächst der Abstand immer schneller. Hinweis: Exponentielles Wachstum mit \(b>1\) überholt jedes lineare Wachstum irgendwann — auch wenn es anfangs langsamer ist.
A4
Koffein im Körper
AFB II

Um 8 Uhr trinkt Jonas einen Kaffee mit \(200\,\mathrm{mg}\) Koffein. Sein Körper baut Koffein mit einer Halbwertszeit von etwa 5 Stunden ab.

a) Bestimmen Sie die Koffeinmenge im Körper um 15 Uhr. b) Um wie viel Prozent nimmt die Koffeinmenge pro Stunde ab?

mg
%
Ansatz: Mit Halbwertszeit: \(K(t)=200\cdot0{,}5^{t/5}\). Der Faktor für eine Stunde ist \(0{,}5^{1/5}\).
Rechenweg: a) \(t=7\): \(0{,}5^{7/5}=0{,}5^{1{,}4}\approx0{,}3789\), also \(200\cdot0{,}3789\). b) \(0{,}5^{0{,}2}\approx0{,}8706\); Abnahme \(1-0{,}8706\).
Lösung: a) \(\approx75{,}79\,\mathrm{mg}\) b) \(\approx12{,}94\,\%\)
Vollständige Lösung
a) Von 8 bis 15 Uhr vergehen 7 Stunden: \(K(7)=200\cdot0{,}5^{1{,}4}\approx75{,}79\,\mathrm{mg}\). b) Stundenfaktor \(b=0{,}5^{1/5}\approx0{,}8706\), die Menge nimmt also stündlich um etwa \(12{,}94\,\%\) ab. Hinweis: Nicht \(50\,\%:5=10\,\%\) pro Stunde rechnen — Prozentsätze beim exponentiellen Abbau lassen sich nicht aufteilen.
A5
Tee kühlt ab
AFB II

Ein Tee kühlt in einem Zimmer nach \(T(t)=20+70\cdot0{,}93^t\) ab (\(T\) in °C, \(t\) in Minuten).

Deuten Sie die Parameter \(20\), \(70\) und \(0{,}93\) im Sachzusammenhang. a) Mit welcher Temperatur startet der Tee? b) Welche Temperatur hat er nach 10 Minuten?

°C
°C
Ansatz: \(t=0\) einsetzen: \(0{,}93^0=1\). Die Zahl \(20\) bleibt übrig, wenn \(0{,}93^t\) sehr klein wird.
Rechenweg: a) \(20+70\cdot1\). b) \(0{,}93^{10}\approx0{,}4840\), also \(20+70\cdot0{,}4840\).
Lösung: a) \(90\) °C b) \(\approx53{,}88\) °C
Vollständige Lösung
a) \(T(0)=20+70=90\) °C. b) \(T(10)=20+70\cdot0{,}93^{10}\approx53{,}88\) °C. Deutung: \(20\) °C ist die Zimmertemperatur, der sich der Tee annähert (Asymptote); \(70\) °C ist der Temperaturunterschied zu Beginn; \(0{,}93\) bedeutet, dass dieser Unterschied pro Minute um \(7\,\%\) schrumpft. Hinweis: Begrenzte Abnahme: exponentiell sinkt nur der Abstand zur Grenze, nicht die Temperatur selbst.
A6
Zwei Exponentialgleichungen
AFB II

Lösen Sie die Gleichungen. Runden Sie in b) auf zwei Nachkommastellen.

a) \(2\cdot5^{x+1}=250\) b) \(3\cdot1{,}2^x=10\)

Ansatz: Zuerst die Potenz allein stellen (durch den Vorfaktor teilen). In a) auf gleiche Basis bringen, in b) logarithmieren.
Rechenweg: a) \(5^{x+1}=125=5^3\) → \(x+1=3\). b) \(1{,}2^x=\tfrac{10}{3}\) → \(x=\log_{1{,}2}\!\big(\tfrac{10}{3}\big)\).
Lösung: a) \(x=2\) b) \(x\approx6{,}60\)
Vollständige Lösung
a) \(2\cdot5^{x+1}=250\iff5^{x+1}=125=5^3\iff x+1=3\iff x=2\). b) \(3\cdot1{,}2^x=10\iff1{,}2^x=\tfrac{10}{3}\iff x=\log_{1{,}2}\!\big(\tfrac{10}{3}\big)\approx6{,}60\). Probe: \(3\cdot1{,}2^{6{,}60}\approx10{,}0\). Hinweis: Wer \(3\cdot1{,}2^x\) zu \(3{,}6^x\) zusammenfasst, verletzt „Potenz vor Punkt“.
A7
Forellen im Angelteich
AFB II

In einem Angelteich leben 800 Forellen. Jedes Jahr werden \(10\,\%\) des Bestands geangelt, danach setzt der Verein 150 Forellen ein: \(B(n+1)=0{,}9\cdot B(n)+150\), \(B(0)=800\).

a) Wie viele Forellen leben nach 2 Jahren im Teich? b) Interpretieren Sie das Modell langfristig: Welchem Bestand nähert sich der Teich?

Forellen
Forellen
Ansatz: a) Die Vorschrift zweimal anwenden. b) Im Gleichgewicht ändert sich der Bestand nicht mehr: \(G=0{,}9\cdot G+150\).
Rechenweg: a) \(B(1)=0{,}9\cdot800+150=870\), \(B(2)=0{,}9\cdot870+150\). b) \(G-0{,}9\,G=150\) → \(0{,}1\,G=150\).
Lösung: a) \(933\) Forellen b) \(G=1500\) Forellen
Vollständige Lösung
a) \(B(2)=0{,}9\cdot870+150=933\). b) Aus \(G=0{,}9\,G+150\) folgt \(G=1500\). Deutung: Bei 1 500 Forellen werden genau 150 geangelt und 150 eingesetzt — der Bestand wächst begrenzt auf diese Grenze zu. Hinweis: Das ist begrenztes Wachstum in rekursiver Form: \(B(n+1)=B(n)+0{,}1\cdot(1500-B(n))\).
A8
Abrufe eines Schul-Podcasts
AFB II

Ein Schul-Podcast zählt die Abrufe pro Woche:

Woche \(x\)02468
Abrufe \(y\)210305433630900

a) Werten Sie die Messreihe mit einer exponentiellen Regression \(y=a\cdot b^x\) am GTR oder CAS aus. Welcher Faktor \(b\) ergibt sich (zwei Nachkommastellen)? b) In welcher Woche überschreiten die Abrufe laut Modell erstmals 2 000?

Ansatz: Daten in zwei Listen eintragen. Casio fx-CG50: Menü Statistik → CALC → REG → EXP → \(a\cdot b^x\). TI-Nspire: Lists & Spreadsheet → Statistik → Statistische Berechnungen → Exponentielle Regression.
Rechenweg: Regression: \(a\approx210{,}62\), \(b\approx1{,}1994\). b) \(210{,}62\cdot1{,}1994^x=2000\) → \(x\approx12{,}38\) (grafisch mit Schnittpunkt oder per Logarithmus).
Lösung: a) \(b\approx1{,}20\) b) Woche 13
Vollständige Lösung
Die Regression liefert \(y\approx210{,}62\cdot1{,}1994^x\), also \(b\approx1{,}20\): etwa \(20\,\%\) mehr Abrufe pro Woche. Aus \(210{,}62\cdot1{,}1994^x=2000\) folgt \(x=\log_{1{,}1994}\!\big(\tfrac{2000}{210{,}62}\big)\approx12{,}38\). Da nur ganze Wochen gezählt werden, wird die Marke in Woche 13 überschritten. Hinweis: Mit den ungerundeten Regressionswerten weiterrechnen — gerundete Parameter verschieben Prognosen spürbar.
A9
Balkonkraftwerke in einer Stadt
AFB II

In einer Stadt sind so viele Balkonkraftwerke angemeldet:

Jahr2021202220232024
Anzahl250340462629

a) Untersuchen Sie mithilfe der Quotienten aufeinanderfolgender Werte, ob exponentielles Wachstum vorliegt. Welcher Faktor ergibt sich (zwei Nachkommastellen)? b) Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich die Anzahl bei diesem Faktor?

Jahre
Ansatz: Quotienten \(\tfrac{340}{250}\), \(\tfrac{462}{340}\), \(\tfrac{629}{462}\) bilden. Sind sie (fast) gleich, liegt exponentielles Wachstum vor. Für b) \(b^{T_D}=2\) lösen.
Rechenweg: Quotienten: \(1{,}360\); \(1{,}359\); \(1{,}361\). b) \(1{,}36^{T_D}=2\) → \(T_D=\log_{1{,}36}(2)\).
Lösung: a) \(b\approx1{,}36\) b) \(T_D\approx2{,}25\) Jahre
Vollständige Lösung
Die Quotienten sind nahezu konstant (\(\approx1{,}36\)), also wächst die Anzahl exponentiell um etwa \(36\,\%\) pro Jahr. Verdopplungszeit: \(T_D=\log_{1{,}36}(2)\approx2{,}25\) Jahre, also etwa 2 Jahre und 3 Monate. Hinweis: Die Differenzen (\(90\), \(122\), \(167\)) wachsen — ein lineares Modell passt nicht.
A10
Parameter aus Graph und Asymptote
AFB II

Der Graph gehört zu \(f(x)=a\cdot b^x+c\). Die gestrichelte Gerade \(y=1\) ist seine Asymptote; markiert sind die Punkte \((0\,|\,5)\) und \((1\,|\,3)\).

Leiten Sie aus diesen Angaben die Parameter \(a\) und \(b\) her.

Ansatz: Die Asymptote liefert \(c=1\). Dann \(f(0)=a+c\) und \(f(1)=a\cdot b+c\) auswerten.
Rechenweg: \(a+1=5\) → \(a=4\). \(4\cdot b+1=3\) → \(4b=2\).
Lösung: \(a=4\), \(b=0{,}5\)
Vollständige Lösung
Wegen der Asymptote ist \(c=1\). Aus \(f(0)=a\cdot b^0+1=a+1=5\) folgt \(a=4\). Aus \(f(1)=4\,b+1=3\) folgt \(b=0{,}5\). Also \(f(x)=4\cdot0{,}5^x+1\). Hinweis: \(f(0)\) ist hier nicht \(a\), sondern \(a+c\) — der Achsenabschnitt enthält die Verschiebung.
−11234123456789xyf
Graph von \(f\) mit Asymptote \(y=1\)