Die 12 häufigsten Fehler
1Prozente addiert statt Faktoren multipliziert
So wird oft gerechnet: Ein Preis steigt zwei Jahre lang um je \( 10\,\% \): „insgesamt \( +20\,\% \)“.
Richtig ist: \( 1{,}1\cdot1{,}1=1{,}21 \), also insgesamt \( +21\,\% \).
Aufeinanderfolgende Änderungen: Faktoren multiplizieren.
2Wachstumsrate statt Wachstumsfaktor eingesetzt
So wird oft gerechnet: Zunahme um \( 5\,\% \) pro Jahr, Start 200: „\( N(t)=200\cdot0{,}05^t \)“.
Richtig ist: \( b=1+0{,}05=1{,}05 \), also \( N(t)=200\cdot1{,}05^t \).
\( b \) ist 100 % plus Zuwachs — \( b>1 \) heißt Wachstum.
3Abnahme um 20 % als \( b=0{,}2 \)
So wird oft gerechnet: Ein Bestand nimmt jährlich um \( 20\,\% \) ab: „\( b=0{,}2 \)“.
Richtig ist: Es bleiben \( 80\,\% \) übrig: \( b=1-0{,}2=0{,}8 \).
Bei Abnahme zählt, was übrig bleibt: \( b=1-\tfrac{p}{100} \).
4Linear und exponentiell verwechselt
So wird oft gerechnet: Tabelle \( 3;\,6;\,9;\,12 \): „von 3 auf 6 verdoppelt, also exponentiell mit \( b=2 \)“.
Richtig ist: Die Differenzen sind alle \( 3 \) → linear. Die Quotienten \( 2;\ 1{,}5;\ 1{,}\overline{3} \) sind nicht gleich.
Alle Schritte prüfen: gleiche Differenzen linear, gleiche Quotienten exponentiell.
5\( (a\cdot b)^x \) statt \( a\cdot b^x \) gerechnet
So wird oft gerechnet: \( f(x)=3\cdot2^x \): „\( f(2)=6^2=36 \)“.
Richtig ist: Nur \( b \) wird potenziert: \( f(2)=3\cdot2^2=3\cdot4=12 \).
Potenz vor Punkt — erst \( b^x \), dann mal \( a \).
6\( b\cdot n \) statt \( b^n \)
So wird oft gerechnet: \( N(0)=50 \), \( b=1{,}2 \): „\( N(5)=50\cdot1{,}2\cdot5=300 \)“.
Richtig ist: \( N(5)=50\cdot1{,}2^5\approx124{,}42 \).
\( n \) Schritte heißt \( n \)-mal mit \( b \) multiplizieren: \( b^n \).
7Bei der Halbwertszeit \( t \) statt \( t/T_H \)
So wird oft gerechnet: \( T_H=8 \) Tage, \( N_0=400 \): nach 24 Tagen „\( 400\cdot0{,}5^{24}\approx0{,}00002 \)“.
Richtig ist: \( 24:8=3 \) Halbwertszeiten: \( N=400\cdot\left(\tfrac12\right)^3=50 \).
Der Exponent zählt die Halbwertszeiten: \( t/T_H \).
8Asymptote für eine Nullstelle gehalten
So wird oft gerechnet: \( f(x)=2\cdot0{,}5^x \): „Am Graphen abgelesen: Nullstelle bei \( x\approx10 \)“.
Richtig ist: \( 2\cdot0{,}5^x>0 \) für alle \( x \): keine Nullstelle, \( y=0 \) ist Asymptote.
Asymptote: beliebig nah, nie erreicht.
9Parameter \( c \) übersehen
So wird oft gerechnet: \( f(x)=3\cdot2^x-5 \): „Asymptote \( y=0 \), \( y \)-Achsenabschnitt \( 3 \)“.
Richtig ist: Asymptote \( y=-5 \), \( f(0)=3\cdot1-5=-2 \).
\( c \) verschiebt alles: Asymptote \( y=c \), \( f(0)=a+c \).
10Bei zwei Punkten die Wurzel vergessen
So wird oft gerechnet: \( P(1\,|\,6) \), \( Q(3\,|\,54) \): „\( b=\tfrac{54}{6}=9 \)“.
Richtig ist: \( x \)-Abstand \( 2 \): \( b^2=9 \Rightarrow b=3 \), \( a=\tfrac63=2 \), also \( f(x)=2\cdot3^x \).
Quotient der \( y \)-Werte, dann Wurzel nach dem \( x \)-Abstand.
11Logarithmiert, ohne vorher durch \( a \) zu teilen
So wird oft gerechnet: \( 5\cdot2^x=40 \Rightarrow \) „\( x=\log_2 40\approx5{,}32 \)“.
Richtig ist: Erst \( :5 \): \( 2^x=8 \Rightarrow x=\log_2 8=3 \).
Erst die Potenz allein stellen, dann logarithmieren.
12Begrenztes Wachstum über \( S \) hinaus
So wird oft gerechnet: Pflanze, \( 20\,\mathrm{cm} \), höchstens \( 120\,\mathrm{cm} \): „\( f(t)=20\cdot1{,}2^t \), nach 10 Wochen \( \approx124\,\mathrm{cm} \)“.
Richtig ist: \( f(t)=120-100\cdot0{,}8^t \); nach 10 Wochen \( \approx109{,}3\,\mathrm{cm} \) — die Grenze wird nie überschritten.
Gibt es eine Grenze \( S \), ist das Modell begrenzt, nicht exponentiell.