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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Linear, exponentiell oder begrenzt?
AFB I MixJede Karte zeigt die ersten vier Werte eines Bestands. Ordne jede Folge dem passenden Wachstumsmodell zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1linear
2exponentiell
3begrenzt
200; 180; 162 ist exponentiell (Faktor 0,9), 200; 180; 160 linear (−20). Bei begrenztem Wachstum schrumpfen die Zuwächse — und zwar die Abstände zu einer Schranke mit festem Faktor: 90; 45; 22,5 bis 100 oder 60; 30; 15 bis 20.
Ansatz: Berechne erst die Differenzen, dann die Quotienten aufeinanderfolgender Werte.Warum? Konstante Differenz = linear, konstanter Quotient = exponentiell (4.1.1).
Rest: Passt beides nicht und werden die Schritte immer kleiner, suche eine Schranke S: Sind die Quotienten der Abstände S − f(n) konstant, ist das Wachstum begrenzt. Probiere S = 100 bzw. S = 20.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IEin Bestand wird durch f(t) = 500 − 380 · 0,85t beschrieben. Lies die nötigen Größen aus dem Term ab und entscheide über jede Aussage.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Im Term S − (S − f(0)) · bᵗ stecken alle Größen: S, das Anfangsmanko S − f(0) und b = 1 − k.
Ansatz: Vergleiche mit der Form f(t) = S − (S − f(0)) · bt.Warum? Dann kannst du S, S − f(0) und b direkt ablesen.
Rechenweg: S = 500, Anfangsmanko 380, also f(0) = 120; b = 0,85, also k = 1 − 0,85 = 0,15.
A3
Drei Terme, drei Kennzahlen
AFB IAlle drei Terme beschreiben begrenztes Wachstum bzw. begrenzte Abnahme. Gib jeweils Schranke, Startwert und Anteil k an.
Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag. Alle Felder müssen stimmen.
| Term | Schranke S | Startwert f(0) | Anteil k |
|---|---|---|---|
| f(t) = 60 − 45 · 0,7t | |||
| g(t) = 2000 − 1500 · 0,96t | |||
| h(t) = 18 + 62 · 0,9t |
h(t) = 18 + 62 · 0,9ᵗ ist dieselbe Form mit negativem Manko: 18 − (18 − 80) · 0,9ᵗ. Der Wert fällt von 80 auf die Schranke 18 zu. Und immer gilt k = 1 − b, nicht k = b.
Ansatz: Setze t = 0 ein, dann ist b0 = 1 — so erhältst du den Startwert. Die Schranke ist die Zahl, die übrig bleibt, wenn bt gegen 0 geht.Warum? Für große t verschwindet der Summand mit bt.
Anteil: Das Manko wird je Schritt mit b multipliziert, schrumpft also um den Anteil k = 1 − b.
A4
Wertetabelle: Vokabeln lernen
AFB IIEin Sprachkurs umfasst 2000 Vokabeln. Lea kennt zu Beginn 200. Pro Woche lernt sie 30 % der Vokabeln dazu, die ihr noch fehlen. Erstelle die Wertetabelle mit der rekursiven Vorschrift.
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
| Woche n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Vokabeln f(n) | 200 |
f(1) = 200 + 0,3 · 1800 = 740, f(2) = 740 + 0,3 · 1260 = 1118 … Die Zuwächse 540, 378, 264,6 werden immer kleiner — typisch für eine Lernkurve. Wer 30 % von f(n) addiert, rechnet exponentiell.
Ansatz: f(n + 1) = f(n) + 0,3 · (2000 − f(n)).Warum? Gelernt werden 30 % der fehlenden Vokabeln, nicht 30 % der bekannten.
Rechenweg: Zuerst das Manko: 2000 − 200 = 1800. Davon 30 % = 540 dazu. Dann das neue Manko 1260 usw.
A5
Rechenkette: Ein Filmtrailer spricht sich herum
AFB IIZum Start kennen 5 % der Zielgruppe den Trailer eines neuen Films. Man erwartet, dass höchstens 80 % ihn jemals kennen. Pro Tag schließt sich 35 % der Lücke zu 80 %. Bestimme die Größen nacheinander.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Faktor b im expliziten Term
- Anfangsmanko S − f(0) in Prozentpunkten
- Bekanntheit nach 4 Tagen in % (zwei Nachkommastellen) %
- erster volle Tag mit mehr als 78 %
f(t) = 80 − 75 · 0,65ᵗ. Nach 8 Tagen sind es erst 77,61 %, nach 9 Tagen 78,45 % — die letzten Prozentpunkte dauern am längsten, weil das Manko nur noch langsam schrumpft.
Ansatz: b = 1 − k = 1 − 0,35. Explizit: f(t) = 80 − 75 · 0,65t.Warum? Das Manko 80 − 5 = 75 schrumpft je Tag mit dem Faktor 0,65.
Letzter Schritt: 78 % heißt: Manko unter 2. Lege eine Wertetabelle an (GTR Menü Table) und suche den ersten Tag mit 75 · 0,65t < 2.
A6
Rekursiv trifft explizit
AFB II MixVergleiche die rekursiven Vorschriften mit den expliziten Termen und verbinde, was dieselbe Folge beschreibt.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Die Falle ist k gegen b: Bei k = 0,8 schrumpft das Manko je Schritt auf 20 %, also b = 0,2. Und 0,8 · f(n) ohne Schranke ist gewöhnliche exponentielle Abnahme (4.1.3).
Ansatz: Lies aus jeder Vorschrift S, f(0) und k ab. Explizit gilt f(n) = S − (S − f(0)) · (1 − k)n.Warum? So lässt sich jede rekursive Zeile direkt übersetzen.
Kontrolle: Berechne f(1) auf beiden Seiten. Beispiel: 10 + 0,2 · 40 = 18 und 50 − 40 · 0,8 = 18.
A7
Korrigiere die Hausaufgabe
AFB IIJonas untersucht f mit S = 120, f(0) = 30 und k = 0,25. Überprüfe seine Zeilen: Markiere die drei falschen und trage den richtigen Wert ein.
Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf. Geprüft wird beides: die markierten Zeilen und deine Korrekturen. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
Wert:
b =
Wert:
Wert:
Zuwachs =
Grenzwert =
Der Zuwachs bezieht sich immer auf das aktuelle Manko: 0,25 · (120 − 69,375) ≈ 12,66. Und wenn 0,75ᵗ gegen 0 geht, verschwindet nur der hintere Summand — f(t) geht gegen S = 120.
Strategie: Prüfe jede Zeile gegen die Formeln f(t) = S − (S − f(0)) · bt mit b = 1 − k und Zuwachs = k · (S − f(n)).Warum? Die drei Fehler verwechseln jeweils eine dieser Größen.
Rechenweg: b = 1 − 0,25. Zuwachs im 3. Schritt = 0,25 · (120 − f(2)). Grenzwert: Was bleibt von 120 − 90 · 0,75t für große t?
A8
Trickaufgabe — Zuwachs im ersten Schritt
AFB IIIFür einen Bestand gilt f(n + 1) = f(n) + 0,3 · (200 − f(n)) mit f(0) = 260. Berechne den Zuwachs f(1) − f(0).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Der Start liegt über der Schranke: Das Manko 200 − 260 = −60 ist negativ, der „Zuwachs“ 0,3 · (−60) = −18. Der Bestand sinkt auf 200 zu — wie ein heißes Getränk, das auf Raumtemperatur abkühlt.
Hinschauen: Vergleiche f(0) mit der Schranke 200, bevor du rechnest.Warum? Das Vorzeichen des Mankos entscheidet, ob der Bestand steigt oder fällt.
Rechenweg: Zuwachs = 0,3 · (200 − 260). Achte auf das Vorzeichen.
A9
Was passiert mit dem ersten Zuwachs?
AFB IIIAusgangslage: S = 100, f(0) = 20, k = 0,2 — der erste Zuwachs ist 16. In jeder Zeile wird nur das Genannte geändert. Beurteile, wie sich der erste Zuwachs ändert.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird 0 oder negativ, 2 = halbiert sich, 3 = bleibt gleich, 4 = wird 1,5-mal so groß, 5 = verdoppelt sich. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = wird 0 oder negativ5 = verdoppelt sich
k = 0,4
S = 60
S = 140 und f(0) = 60
f(0) = 110
S = 140
Der erste Zuwachs ist k · (S − f(0)). Es zählt nur das Produkt aus Anteil und Anfangsmanko: S = 140 und f(0) = 60 lassen das Manko bei 80 — gleicher Zuwachs. Bei f(0) = 110 > S wird er negativ.
Ansatz: Schreibe den ersten Zuwachs als Formel: k · (S − f(0)).Warum? Dann siehst du, welche Änderung welchen Faktor bewirkt.
Beispiele: S = 60 macht das Manko 40 statt 80. S = 140 macht es 120 statt 80.
A10
Passt begrenztes Wachstum?
AFB IIILege für jede Situation fest, welche Eigenschaften zutreffen — und ob das Modell begrenztes Wachstum bzw. begrenzte Abnahme sinnvoll ist.
Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.
| Situation | Es gibt eine Schranke | Änderung proportional zum Abstand zur Schranke | Modell „begrenzt“ passt |
|---|---|---|---|
| Kerntemperatur eines Bratens im Ofen bei 180 °C | |||
| Kontostand bei festem Zinssatz ohne Abhebungen | |||
| Füllhöhe einer Badewanne bei gleichmäßigem Zulauf bis zum Überlauf | |||
| Anteil der Haushalte, die ein neues Küchengerät besitzen | |||
| Temperatur einer Limo, die in den Kühlschrank (6 °C) gestellt wird |
Die Badewanne hat zwar eine Obergrenze, steigt aber gleichmäßig — also linear bis zum Überlauf, nicht immer langsamer. Begrenztes Wachstum braucht beides: Schranke und Änderung proportional zum Abstand.
Ansatz: Frage zuerst: Gibt es einen Wert, der nicht überschritten werden kann? Dann: Wird die Änderung kleiner, je näher man diesem Wert kommt?Warum? Genau diese zwei Eigenschaften definieren begrenztes Wachstum.
Vorsicht: Eine Schranke allein reicht nicht. Bei gleichmäßigem Zulauf ist die Änderung je Minute konstant.