Die Sporthalle heizt auf
AFB I–IINach einem kalten Wochenende hat eine Sporthalle am Montagmorgen nur \(12\,{}^{\circ}\mathrm C\). Die Heizung ist auf \(20\,{}^{\circ}\mathrm C\) eingestellt. Pro Stunde schließt sich \(30\,\%\) der noch fehlenden Temperaturdifferenz zu \(20\,{}^{\circ}\mathrm C\).
- Geben Sie Schranke \(S\), Startwert \(f(0)\) und Anteil \(k\) an und notieren Sie die rekursive Vorschrift.
- Berechnen Sie die Temperatur nach 1, 2 und 3 Stunden.
- Stellen Sie die explizite Funktionsgleichung auf und berechnen Sie damit die Temperatur nach 6 Stunden.
- Das Training beginnt, wenn die Halle mehr als \(19{,}5\,{}^{\circ}\mathrm C\) hat. Ermitteln Sie mit einer Wertetabelle, nach wie vielen vollen Stunden das erstmals der Fall ist.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
- MENU 7 (Table): bei Y1 den Term eingeben, \(x\) über X,θ,T, dann EXE.
- F5 (SET): Start 0, End 12, Step 1.
- F6 (TABLE) zeigt die Wertetabelle.
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(S=20\,{}^{\circ}\mathrm C\), \(f(0)=12\,{}^{\circ}\mathrm C\), \(k=0{,}3\).
\(f(n+1)=f(n)+0{,}3\cdot\bigl(20-f(n)\bigr)\) mit \(f(0)=12\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f(1)=12+0{,}3\cdot8=14{,}4\), \(f(2)=14{,}4+0{,}3\cdot5{,}6=16{,}08\), \(f(3)=16{,}08+0{,}3\cdot3{,}92\approx17{,}26\) (in \({}^{\circ}\mathrm C\)).
Die Zuwächse \(2{,}4\); \(1{,}68\); \(1{,}18\) werden kleiner.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(b=1-0{,}3=0{,}7\): \(f(t)=20-8\cdot0{,}7^{t}\).
\(f(6)=20-8\cdot0{,}7^{6}\approx20-0{,}94=19{,}06\). Nach 6 Stunden sind es etwa \(19{,}1\,{}^{\circ}\mathrm C\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Tabelle zu \(Y1=20-8\cdot0{,}7^{x}\): \(f(7)\approx19{,}34\), \(f(8)\approx19{,}54\).
Nach 8 vollen Stunden ist die Halle erstmals wärmer als \(19{,}5\,{}^{\circ}\mathrm C\).
Glasfaser in der Kleinstadt
AFB II–IIIEine Kleinstadt baut ein Glasfasernetz. Die Tabelle zeigt, wie viel Prozent der Haushalte jeweils zu Jahresbeginn angeschlossen sind. Ein Planungsbüro schätzt, dass sich höchstens \(75\,\%\) der Haushalte anschließen lassen; der Rest hat andere Verträge oder lehnt ab.
| Jahr | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 | 2024 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Anteil in % | 12 | 28 | 40 | 48 | 55 | 60 |
- Weisen Sie nach, dass die Daten gut zu begrenztem Wachstum mit \(S=75\) passen, und geben Sie einen passenden Faktor \(b\) an.
- Bestimmen Sie mit \(t\) in Jahren ab 2019 eine explizite Funktionsgleichung und die Prognose für 2028.
- Die Bürgermeisterin sagt: „Bei diesem Tempo sind 2030 alle Haushalte angeschlossen.“ Beurteilen Sie die Aussage.
- Ein Mitglied des Stadtrats rechnet exponentiell mit dem Faktor \(\frac{28}{12}\). Nehmen Sie Stellung zu beiden Modellen und nennen Sie eine Grenze des Modells „begrenztes Wachstum“.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Abstände: \(63;\ 47;\ 35;\ 27;\ 20;\ 15\).
Quotienten: \(\frac{47}{63}\approx0{,}75\), \(\frac{35}{47}\approx0{,}74\), \(\frac{27}{35}\approx0{,}77\), \(\frac{20}{27}\approx0{,}74\), \(\frac{15}{20}=0{,}75\) — nahezu konstant. Also begrenztes Wachstum mit \(b\approx0{,}75\) (\(k\approx0{,}25\)).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f(t)=75-63\cdot0{,}75^{t}\).
\(f(9)=75-63\cdot0{,}75^{9}\approx75-4{,}73\approx70{,}3\). Prognose für 2028: etwa \(70\,\%\) der Haushalte.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage ist nach dem Modell falsch: \(f(11)=75-63\cdot0{,}75^{11}\approx72{,}3\,\%\). Das Modell nähert sich \(75\,\%\), überschreitet diesen Wert nie und erreicht \(100\,\%\) erst recht nicht.
Zudem wird es „bei diesem Tempo“ nicht bleiben: Die jährlichen Zuwächse sinken von 16 auf 5 Prozentpunkte.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Exponentiell: \(12\cdot\bigl(\frac{28}{12}\bigr)^{3}\approx152\,\%\) schon für 2022 — unmöglich, der Anteil kann \(100\,\%\) nicht übersteigen. Das begrenzte Modell passt zu allen sechs Werten und ist klar vorzuziehen.
Grenze: \(S=75\) ist nur eine Schätzung. Ändern sich Preise, Förderungen oder entstehen Neubaugebiete, verschiebt sich die Schranke — und damit jede Prognose.