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Begrenztes Wachstum

Keine Sonnenblume wächst in den Himmel — warum wird das Wachstum immer langsamer, je näher die Grenze rückt?

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Wachstum mit Obergrenze

Viele Bestände wachsen nicht unbegrenzt, sondern nähern sich einer Schranke \(S\) — je näher sie ihr kommen, desto langsamer.

  • Schranke \(S\):der Wert, dem sich der Bestand nähert, ohne ihn zu überschreiten.
  • Sättigungsmanko:der Abstand \(S-f(n)\) — so viel fehlt noch bis zur Schranke.
  • Gesetz:das Manko nimmt in jedem Schritt um denselben Anteil \(k\) ab \((0<k<1)\).
  • Rekursiv:\(f(n+1)=f(n)+k\cdot\bigl(S-f(n)\bigr)\) — der Zuwachs ist \(k\) mal das Manko.
  • Beispiel App:Schule mit \(S=900\) Lernenden, \(f(0)=100\) nutzen die Schul-App, \(k=0{,}25\) pro Woche: \(f(1)=100+0{,}25\cdot800=300\), \(f(2)=300+0{,}25\cdot600=450\), \(f(3)=450+0{,}25\cdot450\approx563\).
  • Von oben:Tee mit \(80\,{}^{\circ}\mathrm{C}\) im Raum mit \(S=20\,{}^{\circ}\mathrm{C}\), \(k=0{,}1\) pro Minute: \(f(1)=80+0{,}1\cdot(20-80)=74\) — das Manko ist negativ, die Temperatur sinkt auf \(S\) zu.

Starte die Simulation mit ▶ oder gehe mit „Schritt“ einzeln vor. Beobachte die orangefarbene Lücke zur Schranke und verändere dann \(k\) und \(S\).

Dem Grenzwert entgegen

Halte fest: Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Abstände ist immer \(b=1-k\). Die Punkte kommen der Schranke \(S\) beliebig nahe, erreichen sie aber nie.

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Explizit: Das Manko schrumpft exponentiell

Das Manko wird in jedem Schritt mit demselben Faktor \(b=1-k\) multipliziert — es nimmt also exponentiell ab.

Herleitung:

\(d(t)=S-f(t)\)
| Manko
Start: \(d(t)\) ist der Abstand zur Schranke.
\(d(t+1)=d(t)-k\cdot d(t)=(1-k)\cdot d(t)\)
| \(b=1-k\)
Das Manko nimmt je Schritt um den Anteil \(k\) ab.
\(d(t)=d(0)\cdot b^{t}\)
| einsetzen
Konstanter Faktor \(b\) mit \(0<b<1\): exponentielle Abnahme mit Startwert \(d(0)=S-f(0)\).
\(S-f(t)=\bigl(S-f(0)\bigr)\cdot b^{t}\)
| nach \(f(t)\)
\(d(t)\) und \(d(0)\) durch ihre Bedeutung ersetzt.
\(f(t)=S-\bigl(S-f(0)\bigr)\cdot b^{t}\)
Ergebnis
App-Beispiel: \(f(t)=900-800\cdot0{,}75^{t}\).
  • Asymptote:weil \(b^{t}\) mit wachsendem \(t\) gegen \(0\) geht, nähert sich der Graph der Geraden \(y=S\) beliebig an.
  • App nach 10 Wochen:\(f(10)=900-800\cdot0{,}75^{10}\approx900-45=855\).
  • Tee explizit:\(f(t)=20-(20-80)\cdot0{,}9^{t}=20+60\cdot0{,}9^{t}\) — Graph fällt von oben auf \(y=20\) zu.
Merke

Begrenztes Wachstum: \(f(t)=S-\bigl(S-f(0)\bigr)\cdot b^{t}\) mit \(0<b<1\)

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Allgemeine Hinweise

k ist nicht der Wachstumsfaktor

\(k\) ist der Anteil, um den das Manko schrumpft. In der expliziten Formel steht \(b=1-k\): bei \(k=0{,}25\) also \(b=0{,}75\).

Der Bestand wächst nicht um k

Nicht \(f(n)\) wird mit \(k\) multipliziert, sondern der Abstand \(S-f(n)\). Darum wird der Zuwachs immer kleiner.

Begrenzt oder exponentiell?

Tabelle prüfen: Sind die Quotienten der Abstände \(\frac{S-f(n+1)}{S-f(n)}\) konstant, liegt begrenztes Wachstum mit Schranke \(S\) vor.

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