Probe-Klassenarbeit

Erwartungshorizont: a) A: \(15:5=45:15=135:45=3\), exponentiell mit Faktor \(3\) (1 P); B: Differenz jeweils \(10\), linear mit \(+10\,\mathrm{m^2}\) pro Woche (1 P).
b) \(A(5)=5\cdot3^5=1215\) (1 P); \(B(5)=5+10\cdot5=55\) (1 P).

Erwartungshorizont: a) \(100\,\%+8\,\%=1{,}08\) (1 P) b) \(100\,\%-30\,\%=0{,}7\) (1 P) c) \(1-0{,}96=0{,}04\), also \(4\,\%\) Abnahme (1 P) d) \(1{,}35-1=0{,}35\), also \(35\,\%\) Zunahme (1 P).

Erwartungshorizont: a) \(3^4=81\Rightarrow 4\) (1 P) b) \(2^{-3}=\tfrac18\Rightarrow -3\) (1 P) c) \(10^{-2}=0{,}01\Rightarrow -2\) (1 P) d) \(\sqrt7=7^{1/2}\Rightarrow 0{,}5\) (1 P).

Erwartungshorizont: a) \(:5\): \(2^x=32=2^5\Rightarrow x=5\) (2 P)
b) \(27=3^3\Rightarrow x+1=3\Rightarrow x=2\) (1 P)
c) \(:4\): \(10^x=0{,}1=10^{-1}\Rightarrow x=-1\) (2 P). Typischer Fehler: erst den Vorfaktor abziehen statt teilen.

Erwartungshorizont: a) Richtig sind 1, 2 und 5: \(0<b<1\) ⇒ fallend; \(c=2\) verschiebt die Asymptote auf \(y=2\), daher liegen alle Werte über 2 und es gibt keine Nullstelle; \(f(0)=3+2=5\) (3 P).
b) \(0{,}5^{-1}=2\), also \(f(-1)=3\cdot2+2=8\) (2 P).

Erwartungshorizont: a) \(a=f(0)=1200\) (1 P); \(1200\cdot b^3=1850\Rightarrow b=\sqrt[3]{1850/1200}\approx1{,}1552\) (1 P).
b) \(b-1\approx0{,}1552\): Zunahme um etwa \(15{,}5\,\%\) pro Jahr (1 P).
c) \(1200\cdot1{,}1552^t=4000\Rightarrow t=\log_{1{,}1552}\!\left(\tfrac{4000}{1200}\right)\approx8{,}34\) (2 P); GTR: RUN, F4 (MATH) → F2 (logab) oder Y1 = 1200·1.1552^X, Y2 = 4000 und SHIFT F5 (G-Solv) → F5 (ISCT). Also im Laufe des Jahres 2028 (1 P).

Erwartungshorizont: a) GTR: MENU 2 (Statistik), \(t\) in List 1, Koffein in List 2, dann F2 (CALC) → F3 (REG) → Exp → \(a\cdot b^x\): \(a\approx180\), \(b\approx0{,}8699\), \(r\approx-0{,}9999\) (2 P).
b) \(1-0{,}8699\approx0{,}13\): Abnahme um etwa \(13\,\%\) pro Stunde (2 P).
c) \(b^{t_H}=\tfrac12\Rightarrow t_H=\log_{0{,}8699}(0{,}5)\approx4{,}97\,\mathrm h\) (2 P).

Erwartungshorizont: a) \(21-14\,b^{10}=11\Rightarrow b^{10}=\tfrac{10}{14}=\tfrac57\Rightarrow b=\left(\tfrac57\right)^{0{,}1}\approx0{,}9669\) (2 P).
b) \(T(30)=21-14\cdot\left(\tfrac57\right)^3\approx21-5{,}10\approx15{,}9\,\degree\mathrm C\), also noch nicht wärmer als \(16\,\degree\mathrm C\) (2 P).
c) \(14\cdot b^t=1\Rightarrow t=\log_{b}\!\left(\tfrac1{14}\right)\approx78{,}4\,\mathrm{min}\) (2 P); alternativ Y1 = 21−14·0.9669^X, Y2 = 20, SHIFT F5 → F5 (ISCT).

Erwartungshorizont: a) \(48\,000\cdot1{,}015^t=60\,000\cdot0{,}992^t\Rightarrow\left(\tfrac{1{,}015}{0{,}992}\right)^t=1{,}25\Rightarrow t=\log_{1{,}015/0{,}992}(1{,}25)\approx9{,}74\) (2 P); A überholt B also im 10. Jahr (Kontrolle: \(t=10\): \(55\,706>55\,369\)) (1 P).
b) Exponentielle Abnahme: \(0{,}992^t>0\) für alle \(t\); nach 125 Jahren leben noch etwa \(60\,000\cdot0{,}992^{125}\approx22\,000\) Menschen in B (2 P).

Erwartungshorizont: a) \(b^{12}=2\Rightarrow b=\sqrt[12]{2}\approx1{,}0595\), also \(p\approx5{,}95\,\%\) (2 P).
b) \(8=2^3\): drei Verdopplungszeiten, also \(36\) Jahre (1 P).
c) Doppelter Zinssatz: \(p\approx11{,}89\,\%\), \(t=\log_{1{,}1189}(2)\approx6{,}17\) Jahre. Der Wachstumsfaktor wird nicht quadriert (\(1{,}1189\neq1{,}0595^2\approx1{,}1225\)), daher nur näherungsweise halbiert (2 P).