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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Wer schneidet die y-Achse bei 4?
AFB IGib alle Funktionen an, deren Graph die y-Achse im Punkt (0 | 4) schneidet.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Der y-Achsenabschnitt ist f(0) = a + c. 4 · 1,5x − 3 liefert 1 — wer nur a abliest, übersieht c. Bei 1,5x + 4 ist a = 1, also f(0) = 5. Und 0,5 · 8x rechnet a · b = 4, obwohl b0 = 1 ist.
Setze x = 0 ein. Was ergibt b0?
f(0) = a · 1 + c = a + c. Steht vor bx keine Zahl, ist a = 1.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IFünf Aussagen zu f(x) = −3 · 1,4x + 5.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Erst die Asymptote y = c, dann die Seite (a > 0 darüber, a < 0 darunter), dann die Richtung aus b und dem Vorzeichen von a.
Lies a, b und c ab: a = −3, b = 1,4, c = 5.
Ein negatives a spiegelt an der x-Achse und dreht damit auch „steigend“ in „fallend“ um. Die Verschiebung um c ändert daran nichts.
A3
Punkte des Graphen einzeichnen
AFB IGegeben ist f(x) = 4 · 0,5x − 3. Zeichne die gesuchten Punkte in das Koordinatensystem ein — rechne vorher im Kopf.
Bewege die Maus über das Koordinatensystem und klicke, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.
f(0) = 4 − 3 = 1, f(1) = 2 − 3 = −1, f(−1) = 8 − 3 = 5, f(2) = 1 − 3 = −2. Die Asymptote ist y = −3; der Graph nähert sich ihr nach rechts von oben. Wer bei x = −1 den Wert 4 · (−0,5) − 3 = −5 setzt, hat den negativen Exponenten als Minus vor der Basis gelesen.
Erst 0,5x ausrechnen, dann mal 4, dann minus 3. 0,5−1 = 2.
Die Asymptote ist die Gerade y = c. Ihr Schnittpunkt mit der y-Achse hat also die Koordinaten (0 | c).
A4
Asymptote und Achsenabschnitt — vor und zurück
AFB IIBestimme die fehlenden Einträge. In den letzten beiden Zeilen ist a gesucht.
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
| Funktion | Asymptote y = | y-Achsenabschnitt |
|---|---|---|
| f(x) = 2,5 · 1,2x − 4 | ||
| f(x) = 7 − 2 · 0,8x | ||
| f(x) = 3 · (0,5x − 2) | ||
| f(x) = a · 1,5x − 2, a = | −2 | 5 |
| f(x) = a · 0,9x + 4, a = | 4 | 1 |
Zeile 2: 7 − 2 · 0,8x = −2 · 0,8x + 7, also c = 7 und f(0) = 5. Zeile 3 ist die Falle: Erst ausmultiplizieren, 3 · 0,5x − 6 — die Asymptote ist y = −6, nicht y = −2. Rückwärts gilt a = f(0) − c: 5 − (−2) = 7 und 1 − 4 = −3.
Bringe jeden Term in die Form a · bx + c. Asymptote: y = c. y-Achsenabschnitt: a + c.
Klammer zuerst auflösen: 3 · (0,5x − 2) = 3 · 0,5x − 6. Für die Rückwärtszeilen: Aus a + c = f(0) folgt a = f(0) − c.
A5
Über, unter oder woanders?
MixAFB IISortiere nach der Lage des Graphen zur Geraden y = 2. Ordne jeden Term dem passenden Korb zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Asymptote y = 2, Graph darüber
2Asymptote y = 2, Graph darunter
3Asymptote ist nicht y = 2
Entscheidend ist der Summand c, nicht der Faktor: 2 · 3x hat die Asymptote y = 0. 1,5x+2 = 2,25 · 1,5x (Potenzgesetz aus Kapitel 3) hat ebenfalls y = 0. Bei „2 − …“ ist a negativ — der Graph liegt unter der Asymptote.
Schreibe jeden Term als a · bx + c. Bei „2 − 0,5x“ ist a = −1.
1,5x+2 = 1,5x · 1,5² — das ist ein Faktor, kein Summand. Eine 2 im Faktor oder im Exponenten verschiebt nichts nach oben.
A6
Rechenkette: Abstand zur Asymptote
MixAFB IIGegeben ist f(x) = 40 · 0,9x + 20. Ermittle Schritt für Schritt:
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Asymptote: y =
- y-Achsenabschnitt f(0)
- f(3) (2 Nachkommastellen)
- kleinste ganze Zahl x, ab der der Abstand zur Asymptote höchstens halb so groß ist wie bei x = 0
Der Abstand zur Asymptote ist f(x) − 20 = 40 · 0,9x — er nimmt exponentiell ab und hat damit eine eigene Halbwertszeit (4.1.4): 0,96 ≈ 0,53, 0,97 ≈ 0,48. Wer nach f(x) ≤ 30 („Hälfte von 60“) sucht, halbiert den Funktionswert statt den Abstand.
Der Abstand zur Asymptote ist f(x) − c. Bei x = 0 beträgt er 40.
Gesucht ist das kleinste x mit 40 · 0,9x ≤ 20, also 0,9x ≤ 0,5. Probiere x = 6 und x = 7.
A7
Wer schneidet am tiefsten?
AFB IIVergleiche die y-Achsenabschnitte und ordne die Funktionen vom kleinsten (oben) zum größten (unten).
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1f(x) = 1,1x − 3
2f(x) = 0,5 · 4x − 2
3f(x) = 5 − 4 · 0,7x
4f(x) = 3 · 0,6x
5f(x) = −2 · 1,5x + 7
Achsenabschnitte: −2 · −1,5 · 1 · 3 · 5. Die Karte 1,1x − 3 verrutscht am häufigsten: Ohne sichtbaren Faktor ist a = 1, also f(0) = 1 − 3 = −2, nicht −3.
Berechne für jede Karte f(0) = a + c.
Bei 5 − 4 · 0,7x ist a = −4 und c = 5. Bei 3 · 0,6x ist c = 0.
A8
Fehlersuche im Schulheft
AFB IIISechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Überprüfe jeden Satz.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Satz 6 wirkt verdächtig, stimmt aber: Spiegeln an der x-Achse dreht die Richtung um, das Verschieben um −1 ändert sie nicht. Am häufigsten verwechselt wird Satz 5 — Faktor a und Summand c.
Lies in jedem Satz a, b und c ab und prüfe: Asymptote y = c, Achsenabschnitt a + c, Seite der Asymptote über das Vorzeichen von a.
Für Satz 6: 0,6x fällt. Was macht die Multiplikation mit −2 aus einem fallenden Graphen?
A9
Trickaufgabe: nach links verschoben
TrickAFB IIIVerschiebt man den Graphen von g(x) = 2x um 3 Einheiten nach links, erhält man h(x) = 2x+3. Diesen Term kann man auch ohne Verschiebung als h(x) = a · 2x schreiben. Untersuche, welchen Wert a hat.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
2x+3 = 23 · 2x = 8 · 2x (Potenzgesetz aus Kapitel 3). Bei Exponentialfunktionen wirkt eine Verschiebung nach links wie eine Streckung in y-Richtung — deshalb reichen a und c aus, um alle Lagen zu beschreiben. Typische Fallen: a = 3 oder a = −3.
Zerlege die Potenz mit dem Gesetz bm+n = bm · bn.
2x+3 = 2x · 23. Wie groß ist 23?
A10
Entscheidungsbaum: Gibt es eine Nullstelle?
AFB IIIOhne die Gleichung zu lösen: Wie viele Nullstellen hat f(x) = −0,5 · 1,2x + 3? Entscheide dich mithilfe des Baums.
Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
c = 3 ≠ 0, a = −0,5 < 0 (Graph unter der Asymptote y = 3), und die Asymptote liegt über der x-Achse: Der Graph beginnt links knapp unter 3 und fällt ohne Grenze — genau eine Nullstelle. Faustregel: Haben a und c verschiedene Vorzeichen, gibt es genau eine Nullstelle.
Lies ab: a = −0,5, c = 3. Wo liegt die Asymptote, auf welcher Seite davon der Graph?
Ein Graph unterhalb von y = 3, der nach unten unbegrenzt fällt, muss die x-Achse irgendwo kreuzen — aber nur einmal, weil er monoton ist.