MINT lernen

Textaufgaben: Die Parameter a und c

Was bleibt übrig, wenn eine Probe abklingt — und wann ist ein Becken wieder normal?

1

Zählrohr mit Nullrate

AFB I–II

Im Physikunterricht wird die Zählrate einer frisch gewonnenen Barium-137m-Probe mit einem Zählrohr gemessen. Auch ohne Probe registriert das Gerät Impulse aus der natürlichen Umgebungsstrahlung, die sogenannte Nullrate. Die gemessene Zählrate lässt sich beschreiben durch

\(Z(t)=400\cdot0{,}76^t+25\)

mit \(t\) in Minuten nach Messbeginn und \(Z\) in Impulsen pro Minute.

Messaufbau
ProbeZählrohr425 /minZählgerätohne Probe: etwa 25 /min (Nullrate)
Das Zählgerät zeigt die Impulse pro Minute an — Probe und Umgebung zusammen.
  1. Interpretieren Sie die Parameter \(a=400\), \(b=0{,}76\) und \(c=25\) im Sachzusammenhang.
  2. Berechnen Sie die Zählrate nach \(5\) Minuten.
  3. Skizzieren Sie den Graphen von \(Z\) für \(0\le t\le15\) mit Asymptote und Schnittpunkt mit der Hochachse.
  4. Die Probe gilt als „abgeklungen“, sobald die Zählrate unter die doppelte Nullrate fällt. Ermitteln Sie mit der Tabellenfunktion des GTR, nach wie vielen Minuten das der Fall ist (auf \(0{,}1\) min genau).

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welcher Anteil der Zählrate stammt von der Probe, welcher von der Umgebung? Was bedeutet \(b\) in Prozent?
Hinweis zu Aufgabe b)
Erst die Potenz \(0{,}76^5\), dann mal \(400\), dann plus \(25\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Zeichne zuerst die Asymptote gestrichelt. Stützwerte: \(t=0,\,5,\,10,\,15\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Doppelte Nullrate: \(50\) Impulse pro Minute. Casio fx-CG50: MENU 7 (Table), Y1 400×0.76^X+25, F5 (SET), F6 (TABLE) — erst Step 1, dann Step 0.1.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(c=25\): die Nullrate — so viele Impulse pro Minute zählt das Gerät auch ohne Probe; Asymptote \(y=25\).

\(a=400\): die Zählrate, die zu Beginn von der Probe stammt; zusammen mit der Nullrate zeigt das Gerät \(Z(0)=a+c=425\) Impulse pro Minute.

\(b=0{,}76\): Der Anteil der Probe sinkt jede Minute auf \(76\,\%\), nimmt also um \(24\,\%\) pro Minute ab.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(Z(5)=400\cdot0{,}76^5+25\approx400\cdot0{,}2536+25\approx101{,}4+25\approx126\).

Nach \(5\) Minuten zeigt das Gerät etwa \(126\) Impulse pro Minute an.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Asymptote \(y=25\) gestrichelt; Schnittpunkt mit der Hochachse \((0\,|\,425)\).

Stützwerte: \(Z(5)\approx126\), \(Z(10)\approx51\), \(Z(15)\approx31{,}5\). Der Graph fällt, links steil, und nähert sich von oben der Geraden \(y=25\), ohne sie zu erreichen. Bewertet werden Achsenbeschriftung mit Einheiten, Asymptote, Startpunkt und Verlauf.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Grob: \(Z(10)\approx50{,}7\), \(Z(11)\approx44{,}5\) — die Grenze liegt zwischen \(10\) und \(11\) min.

Fein: \(Z(10{,}1)\approx50{,}02\), \(Z(10{,}2)\approx49{,}3\). Die Zählrate fällt zwischen \(10{,}1\) und \(10{,}2\) min unter \(50\) Impulse pro Minute (genauer bei \(10{,}10\) min) — nach gut \(10{,}1\) Minuten gilt die Probe als abgeklungen.

2

Pegel im Rückhaltebecken

AFB II–III

Nach einem Starkregen ist der Wasserstand in einem Regenrückhaltebecken auf \(4{,}2\,\mathrm m\) gestiegen. Durch einen Bach fließt dem Becken ständig Wasser zu, sodass sein Normalpegel \(2{,}4\,\mathrm m\) beträgt. Ab \(3\,\mathrm m\) gilt eine Warnstufe für den Radweg am Ufer.

Zwei Mitarbeiterinnen schlagen Modelle für den Pegel \(P\) (in m) \(t\) Stunden nach dem Höchststand vor:

Modell A: \(P_A(t)=1{,}8\cdot0{,}8^t+2{,}4\)     Modell B: \(P_B(t)=4{,}2\cdot0{,}8^t\)

Zwei Modelle für den Pegel
1234504812162024t in hPegel in mWarnstufe 3 mNormalpegel 2,4 mModell AModell B
Modell A (durchgezogen) und Modell B (gestrichelt) mit Warnstufe und Normalpegel.
  1. Vergleichen Sie die beiden Modelle hinsichtlich Anfangswert, Asymptote und Verlauf.
  2. Bestimmen Sie für beide Modelle, nach welcher Zeit die Warnstufe aufgehoben werden kann (auf \(0{,}1\,\mathrm h\) genau).
  3. Beurteilen Sie, welches Modell die Situation besser beschreibt.
  4. Ein Stadtrat meint: „Nach Modell A ist der Pegel nach einem Tag wieder genau auf Normalniveau.“ Nehmen Sie Stellung zu dieser Aussage.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Bestimme für beide Modelle \(P(0)\) und die Asymptote \(y=c\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Gesucht ist jeweils der Zeitpunkt, ab dem \(P(t)<3\) gilt. GTR-Tabelle mit Y1 1.8×0.8^X+2.4 und Y2 4.2×0.8^X, erst Step 1, dann Step 0.1.
Hinweis zu Aufgabe c)
Kriterien: Was sagen die Modelle für lange Zeiten voraus — und passt das zu den Angaben im Text über den Zufluss?
Hinweis zu Aufgabe d)
Berechne \(P_A(24)\) und vergleiche mit \(2{,}4\,\mathrm m\). Überlege, was „genau“ bei einer Asymptote heißt und was in der Wirklichkeit dazukommen kann.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Gemeinsamkeiten: Beide starten bei \(4{,}2\,\mathrm m\) (\(1{,}8+2{,}4\) bzw. \(4{,}2+0\)) und fallen mit demselben Faktor \(0{,}8\) pro Stunde.

Unterschied: Bei A nimmt nur der Überstand \(1{,}8\,\mathrm m\) über dem Normalpegel ab, die Asymptote ist \(y=2{,}4\). Bei B nimmt der ganze Pegel ab, die Asymptote ist \(y=0\) — B fällt deshalb schneller und weiter.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Modell A: \(P_A(4)\approx3{,}14\), \(P_A(5)\approx2{,}99\); fein \(P_A(4{,}9)\approx3{,}003\), \(P_A(5{,}0)\approx2{,}990\). Der Pegel sinkt zwischen \(4{,}9\) und \(5{,}0\,\mathrm h\) unter \(3\,\mathrm m\) (genauer bei \(4{,}92\,\mathrm h\)) — die Warnstufe kann nach etwa \(4{,}9\,\mathrm h\) aufgehoben werden.

Modell B: \(P_B(1)=3{,}36\), \(P_B(2)\approx2{,}69\); fein \(P_B(1{,}5)\approx3{,}005\), \(P_B(1{,}6)\approx2{,}94\). Unterschreitung knapp nach \(1{,}5\,\mathrm h\) (genauer \(1{,}51\,\mathrm h\)), also nach etwa \(1{,}5\,\mathrm h\).

B würde die Warnung also mehr als drei Stunden früher aufheben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Modell B sagt voraus, dass das Becken langfristig leer läuft (\(P_B\to0\)), z. B. \(P_B(24)\approx0{,}02\,\mathrm m\). Das widerspricht dem ständigen Zufluss, der den Normalpegel von \(2{,}4\,\mathrm m\) hält.

Modell A nähert sich genau diesem Normalpegel — es beschreibt die Situation besser. Folge für b): Die Warnstufe darf erst nach knapp \(5\) Stunden aufgehoben werden; B würde zu früh Entwarnung geben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(P_A(24)=1{,}8\cdot0{,}8^{24}+2{,}4\approx0{,}008+2{,}4\approx2{,}41\,\mathrm m\).

Mathematisch erreicht der Graph die Asymptote nie; „genau“ ist also falsch. Praktisch liegt der Pegel nach einem Tag aber weniger als \(1\,\mathrm{cm}\) über dem Normalwert — kleiner als jede Messgenauigkeit. Im Sachzusammenhang ist die Aussage daher vertretbar, wenn man „genau“ durch „praktisch“ ersetzt. Einschränkung: Neuer Regen oder ein veränderter Zufluss würden das Modell ungültig machen.