Die Parameter a und c

Aus 4.1 kennst du \(N(t)=N_0\cdot b^t\) — als Funktion heißt der Anfangswert \(a\).

• Funktion:\(f(x)=a\cdot b^x\) mit \(a\ne0\), \(b>0\), \(b\ne1\).
• Anfangswert:\(f(0)=a\cdot b^0=a\) — der Graph schneidet die \(y\)-Achse in \((0\,|\,a)\).
• Strecken:alle \(y\)-Werte werden mit \(a\) multipliziert — \(|a|>1\) streckt, \(0<|a|<1\) staucht in \(y\)-Richtung.
• Spiegeln:\(a<0\) spiegelt den Graphen an der \(x\)-Achse — alle Werte sind dann negativ.
• Asymptote:bleibt \(y=0\), denn \(a\cdot\)(fast \(0\)) ist wieder fast \(0\).

Ein Summand \(c\) hebt oder senkt jeden Punkt des Graphen um denselben Betrag.

• Funktion:\(f(x)=a\cdot b^x+c\) — \(c>0\) verschiebt nach oben, \(c<0\) nach unten.
• Asymptote:wandert mit: \(y=c\).
• \(y\)-Achsenabschnitt:\(f(0)=a\cdot1+c=a+c\).
• Wertebereich:\(y>c\) für \(a>0\), \(y<c\) für \(a<0\).

Verändere immer nur einen Regler und vergleiche mit dem grauen Graphen von \(b^x\). Beobachte, wohin die rote Asymptote und der grüne Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wandern.

Halte fest: \(a\) streckt, staucht oder spiegelt, \(c\) verschiebt — die Asymptote liegt bei \(y=c\), die \(y\)-Achse wird bei \(a+c\) geschnitten.

• Beispiel:\(f(x)=-2\cdot0{,}5^x+4\), also \(a=-2\), \(b=0{,}5\), \(c=4\).
• Asymptote:\(y=4\).
• \(y\)-Achse:\(f(0)=-2+4=2\), also \((0\,|\,2)\).
• Wertebereich:\(a<0\), also \(y<4\).
• Verlauf:\(f(1)=3\), \(f(2)=3{,}5\), \(f(3)=3{,}75\) — steigend, von unten an \(y=4\) heran.