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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Logarithmus-Memory
AFB IOrdne jedem Logarithmus seinen Wert zu — ohne Taschenrechner.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
lg(0,001) = −3, weil 10⁻³ = 1/1000. Und log25(5) = 0,5, weil 251/2 = √25 = 5 — der Logarithmus muss keine ganze Zahl sein.
Frage: Stelle dir bei jeder Karte die Frage „Basis hoch wie viel ergibt die Zahl?“Warum? Genau das ist die Definition: bx = a ⟺ x = logb(a).
Hilfe: Kehrwerte geben negative Exponenten (16 = 4², also 1/16 = 4⁻²), Wurzeln geben Exponenten wie 1/2.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IFünf Behauptungen über Logarithmen. Gib für jede an, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Zwei Grenzen der Definition: Die Zahl im Logarithmus muss positiv sein, die Basis positiv und ungleich 1.
Frage: Übersetze jede Aussage in eine Potenz: log2(8) = 4 bedeutet 2⁴ = 8. Stimmt das?Warum? Eine Potenz lässt sich leichter prüfen als ein Logarithmus.
Bedingungen: Kann eine Potenz mit positiver Basis negativ werden? Was ergibt 1 hoch irgendwas?
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB IBeschreibe den Logarithmus mit Fachbegriffen — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
logb(a) ist der , mit dem man die b potenzieren muss, um a zu erhalten. Wenn der Exponent gesucht ist, ist das Logarithmieren die des Potenzierens. Die Zahl a muss sein. Den Logarithmus zur Basis 10 nennt man und schreibt kurz lg.
„Wurzel“ bleibt übrig: Die Wurzel sucht die Basis (x⁵ = 32 ⇒ x = ⁵√32), der Logarithmus den Exponenten (2ˣ = 32 ⇒ x = log2(32)).
Idee: In bx = a gibt es drei Rollen: Basis, Exponent, Potenzwert. Welche fragt der Logarithmus ab?Warum? Der Satz in der ersten Lücke ist genau die Definition.
Abgrenzung: Wurzelziehen und Logarithmieren machen beide das Potenzieren rückgängig — aber für verschiedene Unbekannte.
A4
Wo liegt der Logarithmus?
AFB IIOrdne die Logarithmen ohne Taschenrechner dem passenden Bereich zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1kleiner als 0
2zwischen 1 und 2
3zwischen 3 und 4
Zahlen unter 1 (bei Basis größer als 1) haben einen negativen Logarithmus. Sonst einschachteln: 5³ = 125 < 300 < 625 = 5⁴, also liegt log5(300) zwischen 3 und 4.
Ansatz: Suche die Potenzen der Basis direkt unter und über der Zahl, z. B. 3³ = 27 < 40 < 81 = 3⁴.Warum? Dann liegt der Exponent zwischen den beiden ganzen Zahlen.
Negativ: b⁰ = 1. Liegt die Zahl zwischen 0 und 1, braucht man einen Exponenten kleiner als 0.
A5
Rechenkette: Der Kettenbrief
AFB IIBei einem Kettenbrief soll jede Person den Brief an vier neue Personen schicken. In Runde n erhalten ihn also 4n neue Personen. Berechne Schritt für Schritt (GTR erlaubt).
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- neue Personen in Runde 3
- n mit 4n = 1 000 000 (zwei Nachkommastellen)
- erste volle Runde mit mindestens 1 Mio. neuen Personen
- erste volle Runde mit mehr neuen Personen als Deutschland Einwohner hat (84 Mio.)
n = log4(1 000 000) ≈ 9,97, also Runde 10. Für 84 Mio.: log4(84 000 000) ≈ 13,16 — schon in Runde 14 bräuchte der Brief mehr Empfänger, als es im ganzen Land gibt. Darum brechen Kettenbriefe immer ab.
Ansatz: 4n = 1 000 000 ⟺ n = log4(1 000 000).Warum? Gesucht ist der Exponent — das beantwortet der Logarithmus.
GTR: MENU 1, F4 (MATH), F2 (logab): 4 ► 1000000 EXE. Da nur ganze Runden zählen, aufrunden.
A6
Große Basis, kleiner Logarithmus?
AFB IIAlle Logarithmen haben dieselbe Zahl 30. Vergleiche sie und ordne sie vom kleinsten zum größten Wert.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1log0,5(30)
2log30(30)
3lg(30)
4log3(30)
5log2(30)
Je größer die Basis (über 1), desto weniger oft muss man sie mit sich selbst multiplizieren — der Logarithmus wird kleiner: log2(30) ≈ 4,91 > log3(30) ≈ 3,10 > lg(30) ≈ 1,48 > log30(30) = 1. Bei der Basis 0,5 braucht man einen negativen Exponenten: ≈ −4,91.
Ansatz: Schätze jeden Wert ein: 2⁴ = 16 und 2⁵ = 32, 3³ = 27, 10¹ = 10 und 10² = 100.Warum? Ganzzahlige Grenzen reichen zum Ordnen.
Sonderfälle: log30(30) = 1. Und 0,5x = 30 geht nur mit negativem x, denn 0,5⁻⁵ = 2⁵ = 32.
A7
Korrigiere die Rechnungen
AFB II MixTim hat sechs Logarithmen bestimmt. Überprüfe seine Ergebnisse: Markiere die drei falschen und trage den richtigen Wert ein.
Klicke eine Zeile an, wenn du sie für falsch hältst — dann klappt ein Eingabefeld auf. Geprüft wird beides: die markierten Zeilen und deine Korrekturen. Brüche als Dezimalzahl eingeben, z. B. 0,25.
Wert:
Wert:
Wert:
Wert:
Wert:
Wert (zwei Nachkommastellen):
log8(4) ist nicht 0,5, denn 80,5 = √8 ≈ 2,83. Mit Kapitel 3: 82/3 = (∛8)² = 2² = 4, also log8(4) = 2/3 ≈ 0,67.
Strategie: Mache zu jeder Zeile die Probe als Potenz: Basis hoch Ergebnis — kommt die Zahl heraus?Warum? Die Probe entlarvt jede falsche Zeile sofort.
Für die letzte Zeile: Schreibe 8 = 2³ und 4 = 2². Dann ist (2³)x = 2² gesucht, also 3x = 2.
A8
Trickaufgabe — gesucht ist die Basis
AFB IIIFür eine Basis b gilt logb(64) = −3. Bestimme b.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Umschreiben: b⁻³ = 64, also 1/b³ = 64 und b³ = 1/64, b = 1/4 = 0,25. Die Falle: Hier ist nicht der Exponent gesucht — also hilft kein Logarithmus, sondern die Wurzel. Probe: 0,25⁻³ = 4³ = 64.
Ansatz: Übersetze in eine Potenzgleichung: logb(64) = −3 ⟺ b−3 = 64.Warum? Die Definition gilt in beide Richtungen.
Rechenweg: b−3 = 1/b³ (Kapitel 3). Also b³ = 1/64 — dritte Wurzel ziehen.
A9
Schätz-Regler: Wie oft mal 3?
AFB IIISchätze log3(1000) ab — ohne Rechner, nur mit Dreierpotenzen.
Ansatz: Multipliziere 3 · 3 · 3 · … bis du über 1000 kommst.Warum? Die Anzahl der Faktoren ist der Exponent.
Feinschliff: 3⁶ = 729 und 3⁷ = 2187. Ein weiterer Faktor 3 wäre viel zu groß — 1000 ist nur etwa das 1,4-Fache von 729.
A10
Vorzeichen und Definition
AFB IIIBeurteile für jede Kombination aus Basis b und Zahl a, ob logb(a) existiert und welches Vorzeichen er hat. Pro Zeile ist genau ein Kreuz richtig.
Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.
| Basis und Zahl | nicht definiert | negativ | null | positiv |
|---|---|---|---|---|
| log3(0,2) | ||||
| log0,5(8) | ||||
| log0,5(0,2) | ||||
| log1(1) | ||||
| log5(−5) | ||||
| log7(1) |
Bei einer Basis unter 1 kehrt sich alles um: 0,5x wird für positive x kleiner als 1, also ist log0,5(0,2) ≈ 2,32 positiv und log0,5(8) = −3 negativ. log1(1) ist nicht definiert, weil 1x = 1 für jedes x gilt.
Ansatz: Frage zuerst, ob die Bedingungen a > 0, b > 0, b ≠ 1 erfüllt sind. Dann: Braucht man einen positiven oder negativen Exponenten?Warum? Das Vorzeichen des Exponenten hängt davon ab, ob die Potenz größer oder kleiner als 1 werden muss.
Beispiel: 0,5x = 8 = 2³ = 0,5−3. Und 3x = 0,2 < 1 braucht x < 0.