Oktaven am Klavier
AFB I–IIDer Kammerton a′ schwingt mit \(440\,\mathrm{Hz}\). Ein Ton, der eine Oktave höher liegt, hat die doppelte Frequenz. Liegt ein Ton \(n\) Oktaven über a′, gilt für seine Frequenz \(f=440\cdot2^{n}\) (in Hz) — \(n\) muss dabei keine ganze Zahl sein.
- Geben Sie die Frequenz des Tons an, der 5 Oktaven über a′ liegt, und die des Tons 4 Oktaven unter a′.
- Erläutern Sie, warum die Anzahl der Oktaven zwischen a′ und einem Ton der Frequenz \(f\) durch \(n=\log_2\!\bigl(\frac{f}{440}\bigr)\) gegeben ist, und bestimmen Sie so ohne Rechner \(n\) für \(f=7040\,\mathrm{Hz}\).
- Der höchste Ton eines Klaviers hat etwa \(4186\,\mathrm{Hz}\). Berechnen Sie mit dem GTR, wie viele Oktaven er über a′ liegt (zwei Nachkommastellen).
- Junge Menschen hören Töne bis etwa \(20\,000\,\mathrm{Hz}\). Es gilt \(\log_2\!\bigl(\frac{20\,000}{440}\bigr)\approx5{,}51\). Interpretieren Sie dieses Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
- Casio fx-CG50: MENU 1, dann F4 (MATH), F2 (logab).
- Basis tippen, mit ► ins zweite Feld, Zahl tippen, EXE.
- TI-Nspire CX CAS:
log(x,b)steht für \(\log_b(x)\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
5 Oktaven höher: \(440\cdot2^{5}=440\cdot32=14\,080\,\mathrm{Hz}\).
4 Oktaven tiefer: \(440\cdot2^{-4}=\frac{440}{16}=27{,}5\,\mathrm{Hz}\) — das ist übrigens der tiefste Ton des Klaviers.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(440\cdot2^{n}=f\iff2^{n}=\frac{f}{440}\). Gesucht ist der Exponent, mit dem man 2 potenzieren muss, um \(\frac{f}{440}\) zu erhalten — genau das ist \(\log_2\!\bigl(\frac{f}{440}\bigr)\).
\(f=7040\): \(\frac{7040}{440}=16=2^{4}\), also \(n=\log_2(16)=4\) Oktaven.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\frac{4186}{440}\approx9{,}5136\). GTR: logab mit Basis 2 und \(9{,}5136\) liefert \(n\approx3{,}25\).
Kontrolle: \(2^{3}=8<9{,}51<16=2^{4}\) — der Wert liegt zwischen 3 und 4. Der höchste Klavierton liegt gut drei Oktaven über a′.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Hörgrenze liegt etwa \(5{,}5\) Oktaven über dem Kammerton: Man kann a′ fünfmal verdoppeln (\(14\,080\,\mathrm{Hz}\)) und kommt noch ein gutes Stück weiter, aber nicht bis zur sechsten Verdopplung (\(28\,160\,\mathrm{Hz}\)).
Das Klavier nutzt davon nur gut drei Oktaven nach oben — über dem höchsten Klavierton sind noch über zwei Oktaven hörbar.
Mooresches Gesetz
AFB II–III1965 sagte der Ingenieur Gordon Moore voraus, dass sich die Zahl der Transistoren auf einem Computerchip regelmäßig verdoppelt; später nannte er etwa zwei Jahre als Verdopplungszeit. Die Tabelle zeigt zwei Chips im Abstand von 50 Jahren.
| Jahr | Prozessor | Transistoren |
|---|---|---|
| 1971 | erster Mikroprozessor | 2 300 |
| 2021 | großer Notebook-Chip | rund 57 Milliarden |
- Schätzen Sie ohne Rechner mithilfe von Zweierpotenzen ab, wie oft sich die Transistorzahl von 1971 bis 2021 verdoppelt hat. Nutzen Sie \(2^{10}\approx1000\).
- Begründen Sie, dass die Anzahl \(n\) der Verdopplungen \(n=\log_2\!\bigl(\frac{57\cdot10^{9}}{2300}\bigr)\) ist, und berechnen Sie \(n\) mit dem GTR.
- Ermitteln Sie die durchschnittliche Verdopplungszeit.
- Beurteilen Sie die Aussage „Das Mooresche Gesetz gilt seit 50 Jahren und wird immer gelten.“
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\frac{57\cdot10^{9}}{2300}\approx2{,}5\cdot10^{7}\). Mit \(2^{20}\approx10^{6}\) bleibt \(25=2^{4{,}6}\) übrig — zwischen \(2^{4}=16\) und \(2^{5}=32\).
Also etwa 24 bis 25 Verdopplungen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Nach \(n\) Verdopplungen: \(2300\cdot2^{n}=57\cdot10^{9}\iff2^{n}=\frac{57\cdot10^{9}}{2300}\approx24\,782\,609\). Gesucht ist der Exponent zur Basis 2, also \(n=\log_2(24\,782\,609)\).
GTR (logab, Basis 2): \(n\approx24{,}56\). Kontrolle: \(2^{24}\approx16{,}8\) Mio. \(<24{,}8\) Mio. \(<2^{25}\approx33{,}6\) Mio.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\frac{50\text{ Jahre}}{24{,}56}\approx2{,}04\) Jahre. Im Mittel hat sich die Transistorzahl etwa alle zwei Jahre verdoppelt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Der erste Teil ist gut gestützt: Die mittlere Verdopplungszeit von etwa 2 Jahren passt sehr genau zu Moores Vorhersage. Allerdings beruht die Rechnung nur auf zwei Chips; ob das Wachstum dazwischen gleichmäßig war, zeigen die Daten nicht.
„Wird immer gelten“ ist nicht haltbar: Exponentielles Wachstum stößt an Grenzen — Transistoren können nicht kleiner als wenige Atome werden, und Kosten und Wärmeentwicklung steigen. Eine sinnvolle Aussage beschränkt sich auf den beobachteten Zeitraum.