Der Logarithmus

In \(b^{x}=a\) sind Basis und Ergebnis bekannt — gesucht ist die Hochzahl.

• Die Frage:„\(b\) hoch wie viel ergibt \(a\)?“
• Beispiel:\(2^{x}=32\): wegen \(2^{5}=32\) ist \(x=5\).
• Definition:\(\log_b(a)\) ist die Zahl, mit der man \(b\) potenzieren muss, um \(a\) zu erhalten. Gelesen: „Logarithmus von \(a\) zur Basis \(b\)“.
• Bedingungen:\(a>0\), \(b>0\) und \(b\ne1\).
• Umkehrung:Logarithmieren macht das Potenzieren rückgängig: \(\log_2\bigl(2^{5}\bigr)=5\).
• Nicht verwechseln:\(x^{5}=32\) sucht die Basis — Wurzelziehen: \(x=\sqrt[5]{32}=2\). \(2^{x}=32\) sucht den Exponenten — Logarithmieren: \(x=\log_2(32)=5\).

Falte den Streifen (F oder Leertaste) und klappe ihn wieder auf (A). Wähle oben ein Ziel: Wie oft musst du falten, bis so viele Lagen übereinanderliegen?

Halte fest: Jedes Halbieren verdoppelt die Lagen, nach \(n\) Faltungen sind es \(2^{n}\). Umgekehrt beantwortet \(n=\log_2(\text{Lagen})\) die Frage „Wie oft falten?“ — beim Wickelfalz \(n=\log_3(\text{Lagen})\).

Ohne Rechner schreibt man \(a\) als Potenz von \(b\) — der Exponent ist der Logarithmus.

• \(\log_{10}(1000)=3\):denn \(10^{3}=1000\).
• \(\log_2\bigl(\tfrac18\bigr)=-3\):denn \(2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac18\).
• \(\log_b(1)=0\):denn \(b^{0}=1\) — für jede Basis.
• \(\log_b(b)=1\):denn \(b^{1}=b\).
• \(\log_9(3)=\tfrac12\):denn \(9^{\frac12}=\sqrt9=3\).
• Zehnerlogarithmus:\(\lg(a)=\log_{10}(a)\) — auf dem Rechner die Taste log.

Mit dem GTR Casio fx-CG50 im Menü Run-Matrix (Math-Eingabe):

• Vorlage:MENU 1, dann F4 (MATH), F2 (logab) — erzeugt \(\log_{\square}\square\).
• Ausfüllen:Basis tippen, mit ► ins zweite Feld, Zahl tippen, EXE.
• Beispiel:\(\log_3(50)\): F4 F2 3 ► 5 0 EXE → 3.560876795, also \(\log_3(50)\approx3{,}56\).
• Probe:\(3^{3{,}560876795}\approx50\) — der Exponent passt.