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Übungen: Rekursiv und explizit

Zehn Übungen zwischen Schritt-für-Schritt und Direktweg — und eine Tabellenkalkulation zum Selberbauen.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Zuordnen, Bauen und Rechnen — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, decke die Tipps nacheinander auf.

A1
Rekursiv trifft explizit
AFB I

Ordne jeder rekursiven Darstellung die explizite Darstellung zu, die dieselben Werte liefert.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Der Startwert N(0) steht vorn, der Faktor b in der Potenz: aus „mal 3, Start 7“ wird 7 · 3ⁿ — nicht 3 · 7ⁿ. Wird addiert, ist es linear: N(0) + n · d.
Achte zuerst darauf, ob in der Rekursion multipliziert oder addiert wird.
Bei Multiplikation: N(n) = N(0) · bⁿ. Die Zahl hinter „N(0) =“ steht vorn, der Faktor wird potenziert.
A2
Wertetabelle aus der Rekursion
AFB I

Für einen Bestand gilt N(n+1) = 1,25 · N(n) mit N(0) = 2048. Erstelle die Wertetabelle bis n = 4.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
n01234
N(n)2048
2048 · 1,25 = 2560, dann 3200, 4000, 5000. Kopfrechentrick: · 1,25 ist dasselbe wie · 5 : 4. Die Zuwächse (512, 640, 800, 1000) werden größer — typisch exponentiell.
Jeder neue Wert ist der vorige mal 1,25.
1,25 = 5/4: erst durch 4 teilen, dann mal 5 — 2048 : 4 = 512, 512 · 5 = 2560.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Gib die fehlenden Fachbegriffe an — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Bei der Darstellung berechnet man jeden Wert aus dem vorigen. Die Darstellung liefert N(n) direkt aus n. Beide brauchen den N(0). Bei exponentiellem Wachstum wird pro Schritt mit dem multipliziert; in N(0) · bⁿ gibt die an, wie oft das geschieht.

„Summand d“ gehört zum linearen Wachstum: N(n+1) = N(n) + d. Bei exponentiellem Wachstum wird nicht addiert, sondern multipliziert.
Rekursiv heißt „Schritt für Schritt aus dem Vorgänger“, explizit heißt „direkt aus n“.
Was zählt die Hochzahl in bⁿ? Und welches Wort passt zum linearen, nicht zum exponentiellen Wachstum?
A4
Term zusammensetzen
AFB II Mix

Ein Online-Schachportal hat 1,8 Millionen Mitglieder; die Zahl wächst jeden Monat um 2,5 %. Stelle die explizite Darstellung für die Mitgliederzahl (in Millionen) nach n Monaten auf.

Setze den Term von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
N(n) = 1,8 · 1,025ⁿ: Startwert 1,8, Faktor 1 + 2,5/100 = 1,025. Die Ablenker 0,025 (nur der Zuwachs) und 1,25 (Komma verrutscht) sind die typischen Fehler aus 4.1.2.
Welcher Wert ist N(0)? Welcher Faktor gehört zu +2,5 %?
b = 1 + p/100 mit p = 2,5. Die Hochzahl n kommt an den Faktor, nicht an den Startwert.
A5
Rechenkette: Wirkstoff im Blut
AFB II

Nach einer Tablette sind 400 mg eines Wirkstoffs im Blut. Pro Stunde baut der Körper 16 % des vorhandenen Wirkstoffs ab. Berechne Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Wachstumsfaktor b pro Stunde
  2. Wirkstoff nach 2 Stunden mg
  3. nach 5 Stunden (auf 1 Nachkommastelle) mg
  4. nach 12 Stunden (auf 1 Nachkommastelle) mg
N(n) = 400 · 0,84ⁿ. N(2) = 400 · 0,7056 = 282,24 mg; N(5) = 400 · 0,84⁵ ≈ 167,3 mg; N(12) = 400 · 0,84¹² ≈ 49,4 mg. Für N(12) ist die explizite Darstellung deutlich schneller als zwölf Einzelschritte.
16 % Abnahme: b = 1 − 0,16.
Ab N(5) explizit rechnen: 400 · 0,84 hoch n — erst potenzieren, dann mal 400.
A6
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Überprüfe jeden Satz.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die drei Fehler sind die Klassiker der expliziten Darstellung: Klammer um N(0) · b, Start bei N(1) statt N(0) und b · n statt bⁿ.
Setze bei jedem Satz zur Probe einen kleinen Wert für n ein, z. B. n = 1.
Achte auf drei Dinge: Wird nur b potenziert? Ist der Startwert wirklich N(0)? Steht bⁿ oder b · n da?
A7
Eigenschaften ankreuzen
AFB II

Untersuche jede Darstellung und kreuze alle zutreffenden Eigenschaften an.

Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.
DarstellungexponentielllinearAbnahmeN(0) = 4
N(n) = 4 · 1,5ⁿ
N(n+1) = N(n) − 1,5; N(0) = 4
N(n) = 1,5 · 4ⁿ
N(n+1) = 0,4 · N(n); N(0) = 6
N(n) = 4 + 0,4n
Explizit steht N(0) immer vorn (bzw. als Summand bei linear). Bei 1,5 · 4ⁿ ist N(0) = 1,5, nicht 4. Abnahme heißt: 0 < b < 1 bzw. d < 0.
Multipliziert oder addiert? Das entscheidet zwischen exponentiell und linear.
Setze n = 0 ein, um N(0) zu finden. Abnahme: Faktor zwischen 0 und 1 oder negativer Summand.
A8
Wer liegt nach 10 Schritten vorn?
AFB III

Vergleiche die fünf Bestände nach 10 Schritten und ordne sie vom kleinsten zum größten Wert N(10).

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1N(n) = 1000 + 100n
2N(n+1) = N(n) + 250, N(0) = 0
3N(n+1) = 1,2 · N(n), N(0) = 500
4N(n) = 100 · 1,5ⁿ
5N(n) = 10 · 2ⁿ
N(10): 2000; 2500; 500 · 1,2¹⁰ ≈ 3096; 100 · 1,5¹⁰ ≈ 5767; 10 · 2¹⁰ = 10 240. Der kleinste Startwert (10) liefert den größten Wert — nach genug Schritten zählt vor allem der Faktor.
Schreibe alle fünf explizit und setze n = 10 ein.
Nützliche Potenzen: 2¹⁰ = 1024, 1,5¹⁰ ≈ 57,7, 1,2¹⁰ ≈ 6,19.
A9
Trickaufgabe — ohne N(10) auszurechnen
AFB III Mix

Gegeben ist N(n) = 800 · 1,5ⁿ. Bestimme, um welchen Faktor N(10) größer ist als N(7).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Von n = 7 bis n = 10 kommen genau drei Faktoren 1,5 dazu: N(10) : N(7) = 1,5³ = 3,375. Der Startwert 800 kürzt sich weg (Potenzgesetz: 1,5¹⁰ : 1,5⁷ = 1,5³). Wer N(10) ≈ 46 131 und N(7) ≈ 13 669 ausrechnet, kommt auch hin — aber mit Rundungsrisiko.
Wie viele Schritte liegen zwischen n = 7 und n = 10?
Jeder Schritt ist ein Faktor 1,5 — der Startwert spielt für das Verhältnis keine Rolle.
A10
Die Tabellenkalkulation bauen
AFB III

Eine Algenfläche von 350 cm² wächst um 8 % pro Tag. Entwickle Schritt für Schritt eine Tabellenkalkulation: Spalte A enthält n = 0, 1, 2 … ab Zeile 2, Spalte B den Bestand.

Wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung. Falsche Wahl wird rot, dann probierst du es erneut.

    B2 = 350, B3 = B2*1,08, herunterziehen; Kontrolle C22 = 350*1,08^A22 ≈ 1631,34 cm². Die Rekursion eignet sich für die ganze Tabelle, die explizite Formel für einen einzelnen Wert.
    Rekursiv braucht einen Startwert und eine Regel „Zelle darüber mal b“.
    Die explizite Formel braucht nur n aus Spalte A: N(0) · bⁿ, in der Tabellenkalkulation mit ^ geschrieben.