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Textaufgaben: Rekursiv und explizit

Ein springender Tischtennisball und ein Baggersee voller Fische: Wann hilft die Rekursion, wann die Formel?

1

Der springende Tischtennisball

AFB I–II

Ein Tischtennisball wird aus \(1{,}20\,\mathrm m\) Höhe fallen gelassen. Nach jedem Aufprall erreicht er nur noch \(70\,\%\) der Höhe, aus der er zuvor gefallen ist. \(h(n)\) ist die Sprunghöhe nach dem \(n\)-ten Aufprall in m, \(h(0)=1{,}2\) die Fallhöhe.

Der springende Ball
h(0) = 1,20 mh(1)h(2)h(3)Aufprall 1
Nach jedem Aufprall erreicht der Ball \(70\,\%\) der vorherigen Höhe (Skizze, nicht maßstäblich in der Breite).
  1. Geben Sie eine rekursive Darstellung für \(h\) an.
  2. Stellen Sie die explizite Darstellung auf und berechnen Sie damit die Sprunghöhe nach dem 6. Aufprall in cm.
  3. Ermitteln Sie, nach dem wievielten Aufprall der Ball erstmals weniger als \(5\,\mathrm{cm}\) hoch springt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(70\,\%\) der vorherigen Höhe: Mit welchem Faktor wird pro Aufprall multipliziert? Startwert nicht vergessen.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(h(n)=h(0)\cdot b^n\). Das Ergebnis kommt in m heraus — mal 100 ergibt cm.
Hinweis zu Aufgabe c)
Lege eine Wertetabelle an (rekursiv weiterrechnen oder mit dem GTR) und suche den ersten Wert unter \(0{,}05\,\mathrm m\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(h(n+1)=0{,}7\cdot h(n)\) mit \(h(0)=1{,}2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(h(n)=1{,}2\cdot0{,}7^n\).

\(h(6)=1{,}2\cdot0{,}7^6=1{,}2\cdot0{,}117649\approx0{,}1412\,\mathrm m\approx14{,}1\,\mathrm{cm}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Wertetabelle: \(h(7)\approx0{,}0988\,\mathrm m\), \(h(8)\approx0{,}0692\,\mathrm m\), \(h(9)\approx0{,}0484\,\mathrm m\).

Nach dem 9. Aufprall springt der Ball mit etwa \(4{,}8\,\mathrm{cm}\) erstmals weniger als \(5\,\mathrm{cm}\) hoch (nach dem 8. waren es noch \(6{,}9\,\mathrm{cm}\)).

GTR (Casio fx-CG50): MENU 7 (Table), Y1=1.2×0.7^X eintragen, F5 (SET) für Start 0, End 12, Step 1, dann F6 (TABLE) und den ersten Wert unter 0.05 suchen.

2

Fische im Baggersee

AFB II–III

In einem Baggersee leben zu Beginn \(2\,000\) Fische. Ohne Fang wächst der Bestand jedes Jahr um \(15\,\%\). Ein Angelverein will ab jetzt jedes Jahr nach der Laichzeit \(400\) Fische entnehmen. \(N(n)\) ist der Bestand nach \(n\) Jahren.

Ein Jahr im Baggersee
N(n)· 1,15− 400N(n+1)Vermehrung +15 %Fangnächstes Jahr
Erst vermehren sich die Fische, dann entnimmt der Angelverein 400 Tiere.
  1. Bestimmen Sie für den Fall ohne Fang die explizite Darstellung und den Bestand nach 8 Jahren.
  2. Erstellen Sie für den Fall mit Fang eine rekursive Darstellung und eine Wertetabelle bis \(n=3\).
  3. Erläutern Sie, warum sich der Bestand mit Fang nicht in der Form \(N(n)=N(0)\cdot b^n\) beschreiben lässt.
  4. Der Verein überlegt, nur \(300\) Fische pro Jahr zu entnehmen. Beurteilen Sie diesen Vorschlag, auch im Hinblick auf die Grenzen des Modells.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(+15\,\%\) heißt \(b=1{,}15\). Explizit: \(N(n)=N(0)\cdot b^n\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Skizze zeigt die Reihenfolge: erst mal \(1{,}15\), dann minus \(400\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Bilde die Quotienten aufeinanderfolgender Werte aus b). Sind sie gleich?
Hinweis zu Aufgabe d)
Rechne einen Schritt mit \(300\) Fischen Fang von \(2\,000\) aus. Überlege dann, was passiert, wenn der Bestand einmal etwas kleiner ist, und ob \(15\,\%\) Zuwachs jedes Jahr sicher sind.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(N(n)=2000\cdot1{,}15^n\) (rekursiv: \(N(n+1)=1{,}15\cdot N(n)\), \(N(0)=2000\)).

\(N(8)=2000\cdot1{,}15^8\approx6\,118\). Ohne Fang wären es nach 8 Jahren etwa 6 118 Fische.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(N(n+1)=1{,}15\cdot N(n)-400\) mit \(N(0)=2000\).

\(N(1)=1\,900\), \(N(2)=1\,785\), \(N(3)=1\,652{,}75\approx1\,653\). Der Bestand sinkt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Quotienten: \(\frac{1900}{2000}=0{,}95\), \(\frac{1785}{1900}\approx0{,}94\), \(\frac{1653}{1785}\approx0{,}93\) — nicht gleich, also kein festes \(b\). Die Differenzen \(-100\); \(-115\); \(\approx-132\) sind auch nicht gleich.

Grund: Pro Jahr wird mit \(1{,}15\) multipliziert und ein fester Betrag abgezogen. Die Rekursion rechnet das problemlos Schritt für Schritt, eine Formel der Form \(N(0)\cdot b^n\) passt aber nicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(2000\cdot1{,}15-300=2000\): Der Fang entspricht genau dem Zuwachs, der Bestand bliebe im Modell konstant.

Aber: Ist der Bestand einmal kleiner, z. B. \(1\,900\), dann folgt \(1\,885\), \(\approx1\,868\) … — er sinkt weiter. Außerdem schwankt der Zuwachs in der Natur (Winter, Nahrung, Krankheiten), und in einem See kann der Bestand nicht beliebig wachsen.

Urteil: 300 Fische sind rechnerisch die Obergrenze für einen stabilen Bestand; sinnvoll ist, etwas weniger zu entnehmen und den Bestand regelmäßig zu zählen.