Rekursiv und explizit

Rekursiv heißt: Jeder neue Wert wird aus dem vorigen berechnet.

• Exponentiell:\(N(n+1)=b\cdot N(n)\) mit dem Startwert \(N(0)\).
• Bezeichnungen:\(n\) zählt die Schritte (Stunden, Jahre …), \(N(n)\) ist der Bestand nach \(n\) Schritten.
• Beispiel:\(N(0)=50\), \(b=1{,}2\): \(N(1)=1{,}2\cdot 50=60\), \(N(2)=1{,}2\cdot 60=72\), \(N(3)=1{,}2\cdot 72=86{,}4\).
• Linear zum Vergleich:\(N(n+1)=N(n)+d\) — addieren statt multiplizieren.
• Stärke:ideal für Tabellen und Tabellenkalkulation: Zelle darunter \(=\) Zelle darüber mal \(b\), dann herunterziehen.
• Schwäche:Für \(N(50)\) braucht man alle 49 Werte davor.

Explizit heißt: \(N(n)\) wird direkt aus \(n\) berechnet — ganz ohne Zwischenwerte.

Hänge Bausteine \(\cdot b\) an die Kette — per Knopf, mit Enter auf dem Vorrats-Baustein oder durch Ziehen an die gestrichelte Lücke. Fasse den Term dann mit „Zusammenfassen“ zu einer Potenz zusammen.

Halte fest: \(n\) Bausteine \(\cdot b\) hintereinander ergeben \(N(0)\cdot b^n\) — rekursiv und explizit liefern dieselbe Zahl, explizit aber in einem einzigen Schritt.

Herleitung:

• Linear explizit:\(N(n)=N(0)+n\cdot d\) — \(n\)-mal \(d\) addiert.
• Beispiel:\(N(0)=50\), \(b=1{,}2\): \(N(10)=50\cdot 1{,}2^{10}\approx 50\cdot 6{,}19\approx 309{,}6\) — ohne die neun Werte davor.