Verdopplungs-/Halbwertszeit: Übungen – Mathe Klasse 10

A1

Ein Medikament wird abgebaut

AFB I

Von einem Medikament sind morgens 48 mg im Blut, die Halbwertszeit beträgt 6 Stunden. Gib alle Aussagen an, die stimmen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Halbiert wird immer der Rest: 48 → 24 → 12 → 6 → 3 mg nach 0, 6, 12, 18, 24 h. Nach 3 h (einer halben Halbwertszeit) bleibt 48 · 0,5^0,5 ≈ 33,9 mg — die 36 mg entstehen, wenn man linear „die Hälfte von 24 mg“ abzieht.

Zähle, wie viele Halbwertszeiten in die Zeitspanne passen: 12 h = 2 · 6 h, 24 h = 4 · 6 h.

In der ersten Stunde verschwindet am meisten, danach immer weniger. Nach einer halben Halbwertszeit ist deshalb mehr als die Mitte zwischen 48 und 24 mg übrig.

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen rund um Verdopplungs- und Halbwertszeit.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Feste Verdopplungs- oder Halbwertszeiten gibt es nur bei exponentiellen Vorgängen — und dort hängen sie allein vom Faktor b ab.

Schreibe bei jeder Aussage den Faktor auf, der nach der genannten Zeit herauskommt (z. B. 2 · 2 · 2).

Bei der linearen Funktion setzt du zwei Verdopplungen nacheinander ein: 300 → 600 und 600 → 1200. Dauern beide gleich lang?

A3

Kolibakterien im Labor

AFB I

Eine Kultur von Kolibakterien startet mit 150 Zellen und verdoppelt sich unter idealen Bedingungen alle 20 Minuten. Berechne die fehlenden Werte — gerundet auf ganze Zellen.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

t in min	0	10	20	30	60	100
N(t)	150

Mit N(t) = 150 · 2^t/20: nach 20, 60, 100 min sind es 1, 3, 5 Verdopplungen (300, 1200, 4800). Für 10 min ist der Exponent ½: 150 · √2 ≈ 212 — nicht 225, denn in der ersten Hälfte wächst der Bestand langsamer als in der zweiten. Für 30 min: 150 · 2^1,5 ≈ 424.

Schreibe den Bestand mit der Verdopplungszeit: N(t) = 150 · 2^t/20. Wie viele Verdopplungen sind 60 min, wie viele 10 min?

Bei 10 min ist der Exponent 10/20 = 0,5, und 2^0,5 = √2 ≈ 1,414 (Kapitel 3). Bei 30 min: 2^1,5 = 2 · √2.

A4

Gleiche Zeit, andere Schreibweise

MixAFB II

Alle Terme beschreiben einen Bestand N(t), t in Stunden. Ordne jeden Term dem passenden Korb zu — manche sind gut getarnt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Verdopplungszeit 2 h

2Halbwertszeit 2 h

3keine feste Verdopplungs- oder Halbwertszeit

Potenzgesetze aus Kapitel 3 entlarven die Tarnung: (√2)^t = 2^t/2, 4^t/4 = (2²)^t/4 = 2^t/2, 0,25^t/4 = (½)^t/2 und 2^−t/2 = (½)^t/2. Lineare und quadratische Terme haben keine feste Verdopplungszeit.

Setze t = 2 ein: Wird der Faktor vor dem Anfangswert genau 2 oder genau ½?

Beispiel: 4^2/4 = 4^0,5 = 2 und 0,25^2/4 = 0,25^0,5 = 0,5. Bei 20 + 10t prüfst du zwei Verdopplungen nacheinander.

A5

Rückwärts: vom Doppelten zum Faktor

AFB II

Die Mitgliederzahl eines Online-Schachvereins verdoppelt sich alle 5 Jahre. Bestimme den jährlichen Wachstumsfaktor b — gerundet auf vier Nachkommastellen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Aus b⁵ = 2 folgt b = 2^1/5 = ⁵√2 ≈ 1,1487 — also knapp 15 % pro Jahr. Die typische Falle ist b = 1,2: „100 % in 5 Jahren, also 20 % pro Jahr“ rechnet linear. Probe: 1,2⁵ ≈ 2,49 — das wäre mehr als eine Verdopplung.

Nach 5 Jahren wurde fünfmal mit b multipliziert — und dabei muss genau 2 herauskommen: b⁵ = 2.

Löse b⁵ = 2 mit der fünften Wurzel aus Kapitel 3: b = 2^1/5. Am Rechner: 2^(1÷5).

A6

Wer halbiert sich am schnellsten?

AFB II

Fünf Abbauvorgänge, ganz verschieden beschrieben. Vergleiche ihre Halbwertszeiten und ordne sie von der kürzesten (oben) zur längsten (unten).

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Nach 90 Minuten ist nur noch die Hälfte da.

2N(t) = N₀ · (½)^t/2,5, t in Stunden

3Nach 6 Stunden ist noch ein Viertel da.

4Wachstumsfaktor b = 0,8 pro Stunde

5Abnahme um 10 % pro Stunde

Halbwertszeiten: 1,5 h · 2,5 h · 3 h (ein Viertel = zwei Halbwertszeiten) · gut 3 h (0,8³ = 0,512 ist noch knapp über ½) · zwischen 6 und 7 h (0,9⁶ ≈ 0,53, 0,9⁷ ≈ 0,48). Die 0,8 verrutscht am häufigsten, weil 0,8³ so nah an 0,5 liegt.

Rechne alles in Stunden um. Bei „ein Viertel nach 6 h“: Wie viele Halbierungen stecken in einem Viertel?

Bei b = 0,8 und b = 0,9 probierst du Potenzen: Ab welchem Exponenten ist bⁿ ≤ 0,5? Für 10 % Abnahme ist b = 1 − 0,10 = 0,9.

A7

Rechenkette: Cäsium im Waldboden

MixAFB II

In einer Bodenprobe werden 64 Bq/kg Cäsium-137 gemessen (Bq = Zerfälle pro Sekunde). Cäsium-137 hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren. Ermittle Schritt für Schritt:

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Aktivität nach 60 Jahren Bq/kg
verbleibender Anteil nach 90 Jahren %
jährlicher Faktor b (4 Nachkommastellen)
prozentuale Abnahme pro Jahr (2 Nachkommastellen) %

Die Kette verbindet 4.1.4 mit 4.1.2: b = 0,5^1/30 ≈ 0,9772, also rund 2,28 % Abnahme pro Jahr. Wer 50 % : 30 ≈ 1,67 % pro Jahr rechnet, verteilt die Halbierung linear auf die Jahre — beim exponentiellen Abbau wird aber jedes Jahr derselbe Anteil vom jeweiligen Rest abgezogen.

60 und 90 Jahre sind 2 bzw. 3 Halbwertszeiten. Für den Faktor gilt b³⁰ = 0,5.

b = 0,5^1/30 (Rechner: 0.5^(1÷30)). Die prozentuale Abnahme ist (1 − b) · 100 % — aus 4.1.2.

A8

Fehlersuche: Luftdruck in der Höhe

AFB III

Im Modell halbiert sich der Luftdruck (am Boden 1013 hPa) alle 5,5 km Höhe. Sechs Sätze aus einem Referat — drei sind falsch. Überprüfe jeden Satz.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Der Everest-Fehler ist der häufigste: Wer eine Halbierungsstrecke mit „minus die Hälfte“ gleichsetzt, rechnet linear und landet weit unter dem Modellwert. Satz 5 stimmt, weil die Halbierungsstrecke überall gleich lang ist — egal, wo man startet.

Prüfe jede Zahl mit p(h) = 1013 · 0,5^h/5,5. Welche Sätze rechnen stattdessen mit Abzügen oder Dreisatz?

Eine halbe Halbierungsstrecke bedeutet den Faktor 0,5^0,5 = √0,5 — nicht ¾. Und eine Halbierung macht aus einer positiven Zahl nie null.

A9

Trickaufgabe: Schimmel auf dem Brot

TrickAFB III

Ein Schimmelfleck auf einer Brotscheibe verdoppelt seine Fläche jeden Tag. Nach 20 Tagen ist die Scheibe vollständig bedeckt. Leite ohne lange Rechnung her, nach wie vielen Tagen ein Achtel der Scheibe bedeckt war.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Rückwärts gedacht halbiert sich die Fläche jeden Tag: Tag 20 ganz, Tag 19 die Hälfte, Tag 18 ein Viertel, Tag 17 ein Achtel. Die Falle ist 20 : 8 = 2,5 Tage — das wäre lineares Wachstum.

Denke vom Ende her: Wie viel war einen Tag vor Tag 20 bedeckt?

Jeder Tag zurück halbiert die Fläche. Ein Achtel ist ½ · ½ · ½ — also drei Tage zurück.

A10

Was passiert mit der Verdopplungszeit?

MixAFB III

Ein Bestand wächst nach N(t) = N₀ · b^t mit b > 1 und hat die Verdopplungszeit T_D. Jeweils eine Größe wird verändert. Beurteile für jede Zeile, wie lang die neue Verdopplungszeit ist — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = ein Viertel so lang, 2 = halb so lang, 3 = gleich lang, 4 = doppelt so lang, 5 = viermal so lang. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = ein Viertel so lang5 = viermal so lang

Startwert N₀ verdreifacht

b durch √b ersetzt

b durch b⁴ ersetzt

b durch ⁴√b ersetzt

b durch b² ersetzt

Aus b^T_D = 2 folgt zum Beispiel (b²)^T_D/2 = 2: Mit b² reicht die halbe Zeit, mit √b = b^1/2 braucht es die doppelte. Der Startwert kürzt sich immer heraus. Potenzgesetze aus Kapitel 3 ersetzen hier jede Rechnung.

Die Verdopplungszeit ist durch b^T_D = 2 festgelegt. Kommt N₀ in dieser Bedingung vor?

Mit b² gilt (b²)^T = b^2T. Damit das 2 ergibt, muss 2T = T_D sein — also T = T_D/2. Genauso für √b = b^1/2, b⁴ und b^1/4.

Übungen: Verdopplungs-/Halbwertszeit

Übungsaufgaben