Milchsäurebakterien im Labor
AFB I–IIIn einem Labor wird die Vermehrung von Milchsäurebakterien in einer Nährlösung beobachtet. Jede Stunde wird die Bakteriendichte \(N\) (in Millionen Bakterien pro Milliliter) gemessen.
- Weisen Sie mithilfe der Tabelle nach, dass die Bakteriendichte näherungsweise exponentiell wächst, und geben Sie den stündlichen Wachstumsfaktor an.
- Ermitteln Sie die Verdopplungszeit mit der Tabellenfunktion des GTR auf \(0{,}1\,\mathrm h\) genau.
- Stellen Sie mit \(T_D\approx2{,}6\,\mathrm h\) eine Funktionsgleichung der Form \(N(t)=N_0\cdot2^{t/T_D}\) auf und berechnen Sie damit \(N(8)\).
- Schätzen Sie ohne Rechner ab, nach wie vielen Stunden die Dichte etwa \(48\) Mio./ml erreicht.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
3×1.3^X eingeben, F5 (SET) für Start, End, Step, dann F6 (TABLE). Erst grob (Step 1), dann fein (Step 0.1).Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\tfrac{3{,}9}{3{,}0}=1{,}3\), \(\tfrac{5{,}1}{3{,}9}\approx1{,}31\), \(\tfrac{6{,}6}{5{,}1}\approx1{,}29\), \(\tfrac{8{,}6}{6{,}6}\approx1{,}30\), \(\tfrac{11{,}1}{8{,}6}\approx1{,}29\).
Die Quotienten sind bis auf Rundung gleich, das Wachstum ist also näherungsweise exponentiell mit \(b\approx1{,}3\) pro Stunde (Zunahme um \(30\,\%\)). Modell: \(N(t)=3\cdot1{,}3^t\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Grob: \(N(2)\approx5{,}07\), \(N(3)\approx6{,}59\) — die Verdopplung liegt zwischen 2 und 3 Stunden.
Fein (Start 2, End 3, Step 0.1): \(N(2{,}6)\approx5{,}93\), \(N(2{,}7)\approx6{,}09\). Also \(T_D\approx2{,}6\,\mathrm h\) (zwischen \(2{,}6\) und \(2{,}7\,\mathrm h\)).
Kontrolle ohne Anfangswert: \(1{,}3^{2{,}6}\approx1{,}98\), \(1{,}3^{2{,}7}\approx2{,}03\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(N(t)=3\cdot2^{t/2{,}6}\).
\(N(8)=3\cdot2^{8/2{,}6}\approx3\cdot8{,}44\approx25{,}3\) Mio. Bakterien pro ml.
Mit \(3\cdot1{,}3^8\approx24{,}5\) ergibt sich ein etwas kleinerer Wert — der Unterschied entsteht, weil \(T_D\) auf \(2{,}6\,\mathrm h\) abgerundet wurde (genauer: \(2{,}64\,\mathrm h\)).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(48:3=16=2^4\): Es sind vier Verdopplungszeiten nötig, also etwa \(4\cdot2{,}6\,\mathrm h\approx10{,}4\,\mathrm h\).
Nach gut 10 Stunden ist die Dichte auf \(48\) Mio./ml gestiegen (mit \(T_D\approx2{,}64\,\mathrm h\) eher \(10{,}6\,\mathrm h\)).
Altersbestimmung mit C-14
AFB II–IIILebende Pflanzen und Tiere nehmen ständig Kohlenstoff auf, darunter einen winzigen, gleichbleibenden Anteil des radioaktiven Kohlenstoff-14. Nach dem Tod endet die Aufnahme: Der C-14-Anteil nimmt mit einer Halbwertszeit von \(5730\) Jahren ab. Aus dem noch vorhandenen Anteil (in Prozent des Anteils in lebendem Gewebe) schätzt man das Alter eines Fundstücks.
Mit heutigen Messgeräten lassen sich Restanteile bis etwa \(0{,}2\,\%\) zuverlässig messen.
- Erläutern Sie am Graphen, warum nach \(11\,460\) Jahren noch ein Viertel des C-14 vorhanden ist und nicht etwa gar nichts mehr.
- Bestimmen Sie das Alter eines Holzstücks mit \(12{,}5\,\%\) Restanteil und das eines Knochens mit \(30\,\%\) Restanteil (auf \(100\) Jahre genau).
- Ein Mitschüler meint: „Mit der C-14-Methode kann man auch Dinosaurierknochen datieren, die \(66\) Millionen Jahre alt sind — man muss nur genau genug messen.“ Nehmen Sie Stellung zu dieser Aussage.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
100×0.5^(X÷5730), Start \(9000\), End \(11000\), Step \(100\).Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(11\,460=2\cdot5730\), also zwei Halbwertszeiten. In der ersten sinkt der Anteil von \(100\,\%\) auf \(50\,\%\), in der zweiten wird dieser Rest halbiert: auf \(25\,\%\).
Die Vorstellung „zweimal die Hälfte = alles“ zieht zweimal \(50\,\%\) vom Anfangswert ab — das wäre lineare Abnahme. Im Graphen sieht man: Jede Halbwertszeit halbiert den aktuellen Wert, die Kurve nähert sich der Zeitachse, erreicht sie aber nie.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Holz: \(12{,}5\,\%=\left(\tfrac12\right)^3\cdot100\,\%\) — drei Halbwertszeiten, also \(3\cdot5730=17\,190\) Jahre.
Knochen: \(30\,\%\) liegt zwischen \(50\,\%\) und \(25\,\%\), also zwischen einer und zwei Halbwertszeiten. Tabelle: \(A(9900)\approx30{,}2\), \(A(10\,000)\approx29{,}8\). Der Knochen ist etwa \(9\,900\) bis \(10\,000\) Jahre alt, rund \(10\,000\) Jahre.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(66\,000\,000:5730\approx11\,500\) Halbwertszeiten. Der Restanteil wäre \(\left(\tfrac12\right)^{11\,500}\) — eine Zahl mit mehr als \(3\,000\) Nullen nach dem Komma. Im Modell ist er zwar nicht null, aber praktisch ist kein einziges C-14-Atom mehr übrig.
Die Messgrenze von \(0{,}2\,\%\) ist nach etwa \(9\) Halbwertszeiten erreicht (\(0{,}5^9\approx0{,}2\,\%\)), also nach rund \(50\,000\) Jahren. Die Aussage ist daher falsch: „Genauer messen“ hilft nicht, wenn nichts mehr zu messen ist. Für Dinosaurier nutzt man Nuklide mit viel längeren Halbwertszeiten. Vollständig ist eine Antwort, die die Zahl der Halbwertszeiten, den Restanteil und die Messgrenze verbindet.