Verdopplungs-/Halbwertszeit

Bei exponentiellem Wachstum gibt es eine feste Zeitspanne, nach der sich der Bestand jedes Mal verdoppelt.

• Verdopplungszeit:die Zeit \(T_D\), nach der doppelt so viel da ist: \(N(t+T_D)=2\cdot N(t)\).
• Immer gleich:egal, wann man startet und wie viel gerade da ist — nach \(T_D\) doppelt, nach \(2\,T_D\) viermal, nach \(3\,T_D\) achtmal so viel.
• Grund:\(N(t+T_D)=N_0\cdot b^t\cdot b^{T_D}\) — der Faktor \(b^{T_D}=2\) hängt nicht von \(t\) ab.
• Beispiel:Algenteppich \(A(t)=2\cdot1{,}26^t\) (\(A\) in m², \(t\) in Wochen).
• Probieren:\(1{,}26^2\approx1{,}59\), \(1{,}26^3\approx2{,}00\) — also \(T_D\approx3\) Wochen.
• Am Graphen:2 m², 4 m², 8 m² werden nach 0, 3 und 6 Wochen erreicht — Abstand jedes Mal 3 Wochen.
• Genau rechnen:geht erst mit dem Logarithmus (4.3) — bis dahin probieren oder ablesen.
• Mit \(T_D\) geschrieben:\(N(t)=N_0\cdot2^{t/T_D}\), im Beispiel \(A(t)=2\cdot2^{t/3}\).

Bei exponentieller Abnahme (\(0<b<1\)) halbiert sich der Bestand immer nach derselben Zeit.

• Halbwertszeit:die Zeit \(T_H\), nach der nur noch die Hälfte da ist: \(N(t+T_H)=\tfrac12\cdot N(t)\).
• Beispiel:Iod-131 (Schilddrüsen-Therapie) hat \(T_H=8\) Tage; Start mit 40 mg.
• Nach 1, 2, 3 \(T_H\):nach 8, 16, 24 Tagen \(\tfrac12\), \(\tfrac14\), \(\tfrac18\) — also 20 mg, 10 mg, 5 mg.
• Nie ganz null:jede Halbwertszeit halbiert nur den Rest — er wird kleiner, verschwindet aber nicht.

Wähle oben ein Beispiel. Lege das linke Ende des Messbands an eine beliebige Stelle der Zeitachse und ziehe das rechte Ende dorthin, wo der Wert doppelt bzw. halb so groß ist. Übernimm die Messung — und miss dann an einer ganz anderen Stelle noch einmal.

Halte fest: Die Zeitspanne bis zum Doppelten bzw. zur Hälfte ist an jeder Stelle des Graphen gleich lang — bis auf die Ablesegenauigkeit.

Herleitung: