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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Liegt der Punkt auf dem Graphen?
AFB IGegeben ist f(x) = 16x. Gib alle Punkte an, die auf dem Graphen von f liegen.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
160,5 = √16 = 4, 160,25 = 4√16 = 2 und 16−0,5 = 1/√16 = 0,25 — rationale und negative Exponenten aus Kapitel 3. S rechnet 16 · 2 statt 16², T macht aus dem negativen Exponenten einen negativen Wert, U vergisst, dass b0 = 1 ist.
Setze die x-Koordinate ein und vergleiche mit der y-Koordinate. Ein Exponent 0,5 bedeutet Quadratwurzel, 0,25 vierte Wurzel.
Ein negativer Exponent bildet den Kehrwert: 16−0,5 = 1/160,5. Werte von 16x sind nie negativ und nie 0.
A2
Lückentext mit Wortbank
AFB ISetze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Begriff bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Jeder Graph von f(x) = bx geht durch den Punkt . Ist b > 1, der Graph; ist 0 < b < 1, er. Alle Funktionswerte sind , deshalb gibt es keine Nullstelle, und die Gerade ist waagerechte Asymptote.
(1 | 0) wäre eine Nullstelle — die gibt es bei bx nicht. Der zweite feste Punkt ist (1 | b), denn b1 = b.
Setze x = 0 in bx ein. Was ergibt eine Zahl hoch 0?
Eine Potenz mit positiver Basis ist nie null und nie negativ. Welche waagerechte Gerade berührt der Graph deshalb nie?
A3
Wertetabelle mit Spiegelbild
AFB IBerechne die fehlenden Funktionswerte ohne Runden.
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = 2,5x | 1 | 2,5 | |||
| g(x) = 0,4x | 2,5 | 1 |
Die Zeilen sind spiegelbildlich: g(x) = f(−x), weil 0,4 = 1/2,5 ist. Die Graphen von 2,5x und 0,4x liegen also spiegelbildlich zur y-Achse. Häufiger Fehler: 2,5−2 = −6,25 — ein negativer Exponent macht den Wert aber nicht negativ, sondern bildet den Kehrwert.
Negativer Exponent heißt Kehrwert: 2,5−2 = 1/2,5².
Vergleiche die beiden Zeilen, wenn du fertig bist: Welcher Wert von g steht bei x = 1, welcher von f bei x = −1?
A4
Welcher Graph gehört wozu?
AFB IIOrdne jeder Funktionsgleichung den passenden Graphen zu.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Zuerst steigend oder fallend (b > 1 oder b < 1), dann die Steilheit über den Punkt (1 | b) bzw. (−1 | 1/b). A und C sind Spiegelbilder zur y-Achse, denn 0,625 = 1/1,6.
Sortiere erst in steigend (b > 1) und fallend (0 < b < 1).
Lies bei den fallenden Graphen den Wert bei x = −1 ab: Er ist 1/b — für 0,3 also etwa 3,3, für 0,625 genau 1,6, für 0,9 etwa 1,1.
A5
Steigend, fallend — oder gar keine?
MixAFB IIOrdne jeden Term in die passende Gruppe ein. Einige sind getarnt — Potenzgesetze aus Kapitel 3 helfen.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1steigende Exponentialfunktion
2fallende Exponentialfunktion
3keine Exponentialfunktion
0,5−x = (0,5−1)x = 2x steigt, 1,5−x = (1/1,5)x fällt. √3 ≈ 1,73 > 1, aber √2 − 1 ≈ 0,41 < 1. Die Basis 1 liefert nur die Gerade y = 1, eine negative Basis ist nicht erlaubt.
Schreibe jeden Term als bx und entscheide nur mit b: b > 1 steigt, 0 < b < 1 fällt.
Ein Minus im Exponenten dreht die Basis um: a−x = (1/a)x. Und für b = 1 oder b < 0 ist f(x) = bx keine Exponentialfunktion.
A6
Rückwärts: die Basis finden
AFB IIDer Graph von f(x) = bx verläuft durch den Punkt P(−2 | 0,04). Bestimme die Basis b.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
b−2 = 1/b² = 0,04, also b² = 1/0,04 = 25 und b = 5 (b > 0). Der Graph steigt — kleine Werte links der y-Achse passen genau dazu. Wer b = 0,2 erhält, hat das Minus im Exponenten übersehen.
Setze P ein: b−2 = 0,04. Schreibe die linke Seite als Bruch.
1/b² = 0,04 bedeutet b² = 1 : 0,04. Nur die positive Wurzel ist als Basis erlaubt.
A7
Kreuztabelle: Eigenschaften prüfen
AFB IIUntersuche jede Funktion auf die drei Eigenschaften.
Setze in jeder Zeile so viele Kreuze, wie zutreffen — es können mehrere, eines oder keines sein. Enter setzt und löscht.
| Funktion | steigend | f(−2) > 10 | f(2) > 10 |
|---|---|---|---|
| f(x) = 6x | |||
| f(x) = (1/6)x | |||
| f(x) = 0,75x | |||
| f(x) = (4/3)x | |||
| f(x) = 0,2x |
(1/6)−2 = 36 und 0,2−2 = 25: Links der y-Achse werden fallende Graphen groß. 0,75x und (4/3)x bleiben bei x = ±2 zwischen 0,56 und 1,78 — ihre Basis liegt nah an 1, deshalb verlaufen sie flach. Eine leere Zeile ist also richtig.
f(−2) = 1/b² und f(2) = b². Rechne beides für jede Zeile im Kopf aus.
Für (4/3)x: (4/3)² = 16/9 ≈ 1,78 und (3/4)² = 0,5625. Keiner der Werte ist größer als 10.
A8
Fehlersuche im Schulheft
AFB IIISechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Überprüfe jeden Satz.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der zweite Fehler ist der häufigste: „fallend“ heißt nicht „kleiner als 1“. Nur rechts der y-Achse liegen die Werte unter 1, links darüber — der Graph geht durch (0 | 1).
Bei Potenz- und Exponentialfunktion: Steht x unten (Basis) oder oben (Exponent)? Setze die genannte Stelle ein.
Prüfe den Satz über 0,7x mit einem negativen x, z. B. x = −1.
A9
Trickaufgabe: Exponentiell gewinnt — sofort?
TrickAFB III„Exponentialfunktionen wachsen schneller als alles andere“, sagt Mia. Ermittle die kleinste ganze Zahl x ≥ 2, ab der 1,5x größer ist als x² — und es danach bleibt. Taschenrechner erlaubt.
Lege eine kleine Tabelle an: 1,5x und x² für x = 5, 10, 15.
Bei x = 10 ist 1,510 ≈ 57,7 noch viel kleiner als 100, bei x = 15 ist 1,515 ≈ 438 schon größer als 225. Suche dazwischen.
A10
Wie groß ist die Potenz?
AFB IIIBeurteile für jeden Wert, in welchem Bereich er liegt — ohne Taschenrechner, nur mit dem Verlauf der Graphen.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = kleiner als 0,1, 2 = zwischen 0,1 und 1, 3 = genau 1, 4 = zwischen 1 und 10, 5 = größer als 10. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = kleiner als 0,15 = größer als 10
0,95³
5−3
0,80
1,4³
0,1−3
0,95³ ≈ 0,857: Basis knapp unter 1, rechts der y-Achse — knapp unter 1. 5−3 = 1/125 = 0,008. 0,80 = 1 (Punkt (0 | 1)). 1,4³ ≈ 2,74. 0,1−3 = 1000: fallender Graph weit links der y-Achse.
Überlege für jede Zeile: Ist b größer oder kleiner als 1 — und liegt der Exponent links oder rechts der 0?
Fallender Graph und negativer Exponent ergibt Werte über 1, steigender Graph und negativer Exponent Werte unter 1. Abschätzen: 1,4² ≈ 2, also 1,4³ ≈ 2,8.