Licht hinter der Acrylplatte
AFB I–IIEine getönte Acrylplatte schwächt Licht ab. Hinter einer Platte der Dicke \(x\) (in mm) kommt nur noch der Anteil \(A(x)=0{,}85^x\) des Lichts an, das ohne Platte ankäme.
- Deuten Sie die Punkte \((0\,|\,1)\) und \((1\,|\,0{,}85)\) des Graphen im Sachzusammenhang.
- Skizzieren Sie den Graphen von \(A\) für \(0\le x\le10\) und kennzeichnen Sie seine Asymptote.
- Ermitteln Sie mit der Tabellenfunktion des GTR, ab welcher Dicke weniger als die Hälfte des Lichts ankommt (auf \(0{,}1\,\mathrm{mm}\) genau).
- Damit hinter der Platte genauso viel Licht ankommt wie ohne Platte, muss die Lampe um den Faktor \(B(x)=\left(\tfrac{1}{0{,}85}\right)^x\) heller leuchten. Erklären Sie, wie der Graph von \(B\) aus dem Graphen von \(A\) hervorgeht, und geben Sie \(B(4{,}3)\) an.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
0.85^X, F5 (SET) Start/End/Step, F6 (TABLE). Erst Step 1, dann Step 0.1 im passenden Intervall.Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\((0\,|\,1)\): Ohne Platte (\(x=0\)) kommt das gesamte Licht an, der Anteil ist \(1=100\,\%\).
\((1\,|\,0{,}85)\): Eine \(1\,\mathrm{mm}\) dicke Platte lässt \(85\,\%\) des Lichts durch, sie schluckt \(15\,\%\). Jeder weitere Millimeter lässt wieder \(85\,\%\) des bis dahin angekommenen Lichts durch.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Werte: \(A(0)=1\), \(A(2)\approx0{,}72\), \(A(4)\approx0{,}52\), \(A(6)\approx0{,}38\), \(A(8)\approx0{,}27\), \(A(10)\approx0{,}20\).
Skizze: fallende Kurve durch \((0\,|\,1)\), links steiler, rechts flacher. Asymptote ist die \(x\)-Achse \(y=0\): Auch eine dicke Platte lässt noch einen (winzigen) Anteil Licht durch. Bewertet werden Achsenbeschriftung, die markierten Punkte und der Verlauf ohne Schnitt mit der \(x\)-Achse.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Grob: \(A(4)\approx0{,}522\), \(A(5)\approx0{,}444\) — die Grenze liegt zwischen \(4\) und \(5\,\mathrm{mm}\).
Fein: \(A(4{,}2)\approx0{,}505\), \(A(4{,}3)\approx0{,}497\). Ab etwa \(4{,}3\,\mathrm{mm}\) kommt weniger als die Hälfte des Lichts an.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(B(x)=\left(\tfrac{1}{0{,}85}\right)^x=0{,}85^{-x}=A(-x)\). Jeder Punkt \((x\,|\,y)\) von \(A\) wird zu \((-x\,|\,y)\) von \(B\): Der Graph von \(B\) ist der an der \(y\)-Achse gespiegelte Graph von \(A\). Er steigt, weil \(\tfrac{1}{0{,}85}\approx1{,}18>1\).
\(B(4{,}3)=\tfrac{1}{A(4{,}3)}\approx\tfrac{1}{0{,}497}\approx2{,}0\): Hinter \(4{,}3\,\mathrm{mm}\) muss die Lampe etwa doppelt so hell sein — passend zu c), wo nur noch die Hälfte ankam.
Dezibel und Schallintensität
AFB II–IIIDer Schallpegel wird in Dezibel (dB) angegeben. Steigt der Pegel um \(x\) dB, so wird die Schallintensität (die Energie, die pro Sekunde auf das Ohr trifft) mit dem Faktor
\(I(x)=1{,}259^x\)
multipliziert. Für negative \(x\) (leiser) gilt dieselbe Formel. Am Arbeitsplatz muss ab einem Dauerpegel von \(85\) dB Gehörschutz getragen werden.
- Berechnen Sie \(I(3)\), \(I(10)\) und \(I(20)\) und formulieren Sie für \(I(3)\) eine Merkregel.
- Erläutern Sie am Graphen von \(I\), welche Bedeutung der Punkt \((0\,|\,1)\), der Verlauf für negative \(x\) und die Asymptote \(y=0\) im Sachzusammenhang haben.
- Tom behauptet: „Zwei gleich laute Rasenmäher mit je \(90\) dB ergeben zusammen \(180\) dB.“ Nehmen Sie Stellung zu dieser Behauptung.
- Ein Gehörschutz dämpft um \(25\) dB. Beurteilen Sie, ob er bei einem Konzert mit \(110\) dB ausreicht, und gehen Sie dabei auch auf die Genauigkeit des Faktors \(1{,}259\) ein.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
1.259^3 usw. Vergleiche \(I(3)\) mit einer Zahl, die du aus 4.1.4 kennst.Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(I(3)=1{,}259^3\approx2{,}0\), \(I(10)\approx10{,}0\), \(I(20)\approx100\).
Merkregel: \(+3\) dB bedeuten etwa die doppelte Schallintensität — \(3\) dB sind die „Verdopplungszeit“ der Intensität. \(+10\) dB bedeuten das Zehnfache, \(+20\) dB das Hundertfache.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\((0\,|\,1)\): Ohne Pegeländerung bleibt die Intensität gleich (Faktor 1).
Für \(x<0\) liegen die Werte zwischen \(0\) und \(1\): Leiserwerden verkleinert die Intensität, z. B. \(I(-20)\approx0{,}01\) — ein Hundertstel.
Asymptote \(y=0\): Egal um wie viele dB der Pegel sinkt, die Intensität wird beliebig klein, aber nie null — ein Schall verschwindet im Modell nie ganz, er wird nur unhörbar.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Zwei gleiche Rasenmäher verdoppeln die Schallintensität. Nach a) gehört der Faktor \(2\) zu \(+3\) dB, zusammen also etwa \(93\) dB.
Tom addiert die Pegel, als wären sie gewöhnliche Größen. \(+90\) dB würden die Intensität aber um \(I(90)=1{,}259^{90}\approx10^9\), also etwa eine Milliarde, vervielfachen — \(180\) dB lägen weit jenseits der Schmerzgrenze. Die Behauptung ist falsch; vollständig ist eine Antwort mit Faktor \(2\), dem Pegel von rund \(93\) dB und der Begründung über den exponentiellen Zusammenhang.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Mit Gehörschutz: \(110-25=85\) dB — genau an der Grenze. Es kommt nur noch \(I(-25)=1{,}259^{-25}\approx0{,}003\), also etwa \(0{,}3\,\%\) der Intensität an.
Urteil: Der Gehörschutz reicht knapp; bei längeren Konzerten oder schlechtem Sitz bleibt kein Puffer, ein stärker dämpfender wäre sicherer.
Genauigkeit: \(1{,}259\) ist gerundet (genau \(10^{0{,}1}\approx1{,}2589\)); \(1{,}259^{-25}\approx0{,}003158\), exakt \(10^{-2{,}5}\approx0{,}003162\) — der Rundungsfehler ist vernachlässigbar und ändert das Urteil nicht.