Graph von f(x) = bˣ

Mit den rationalen Exponenten aus Kapitel 3 lässt sich \(b^x\) für jedes \(x\) berechnen — die Punkte schließen sich zu einer durchgehenden Kurve.

• Exponentialfunktion:\(f(x)=b^x\) mit \(b>0\), \(b\ne1\) und \(x\in\mathbb{R}\) — die Variable steht im Exponenten.
• Zwei feste Punkte:\(f(0)=b^0=1\) und \(f(1)=b^1=b\) — jeder Graph geht durch \((0\,|\,1)\) und \((1\,|\,b)\).
• \(b>1\):steigend — z. B. \(3^x\): \(\tfrac13\), \(1\), \(3\), \(9\) für \(x=-1\), \(0\), \(1\), \(2\).
• \(0<b<1\):fallend — z. B. \(0{,}25^x\): \(4\), \(1\), \(0{,}25\), \(0{,}0625\).
• Steilheit:je weiter \(b\) von 1 entfernt, desto steiler — \(3^x\) steigt schneller als \(1{,}2^x\), \(0{,}25^x\) fällt schneller als \(0{,}8^x\).

Ziehe den Punkt \(P\) auf der Senkrechten \(x=1\) nach oben und unten — der ganze Graph folgt. Mit \(Q\) fährst du auf dem Graphen entlang und liest Koordinaten ab.

Halte fest: Jeder Graph geht durch \((0\,|\,1)\). Der Punkt \((1\,|\,b)\) entscheidet: über der Höhe 1 steigt der Graph, darunter fällt er.

Egal welches \(b\) — diese Eigenschaften haben alle Graphen von \(f(x)=b^x\).

• Wertebereich:nur \(y>0\) — eine Potenz mit positiver Basis ist nie null oder negativ.
• Nullstellen:keine — der Graph liegt ganz oberhalb der \(x\)-Achse.
• Asymptote:auf einer Seite kommt der Graph der \(x\)-Achse beliebig nahe, berührt sie aber nie — \(y=0\) ist waagerechte Asymptote.
• Welche Seite:bei \(b>1\) links (für immer kleinere \(x\)), bei \(0<b<1\) rechts.
• Spiegelbild:der Graph von \(\left(\tfrac1b\right)^x\) ist der an der \(y\)-Achse gespiegelte Graph von \(b^x\) — z. B. \(\left(\tfrac13\right)^x\) und \(3^x\).

Herleitung: