Lösen mit GTR und CAS: Übungen – Mathe Klasse 10

A1

Umformen oder Rechner?

AFB I

Geben Sie alle Gleichungen an, die sich nicht durch Basisvergleich oder Logarithmieren lösen lassen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Sobald \(x\) zugleich im Exponenten und außerhalb steht, hilft kein Umformen mehr — dann GTR oder CAS. \(3^x+3^x=2\cdot3^x\) und \(2^{x+3}=2^{2x}\) sehen nur schwierig aus: Sie führen auf \(3^x=27\) bzw. \(x+3=2x\).

Ansatz: Frage bei jeder Gleichung: Kommt \(x\) nur im Exponenten vor?

Weiter: Fasse vorher zusammen: \(3^x+3^x=2\cdot3^x\), \(4^x=2^{2x}\). Ein \(x\) außerhalb des Exponenten (wie in \(2x+5\) oder \(x^2\)) lässt sich nicht wegschaffen.

A2

Tastenweg am fx-CG50

AFB I

Die Gleichung \(1{,}3^{x}=x+2\) soll am GTR grafisch gelöst werden. Nennen Sie in jedem Schritt die passende Taste.

Wähle in jedem Menü den passenden Eintrag und prüfe dann alle auf einmal.

1. Grafik-Menü öffnen:

2. Eingeben:

3. Graphen zeichnen:

4. Löse-Menü öffnen:

5. Schnittpunkt berechnen:

6. Zum nächsten Schnittpunkt rechts:

Die Gleichung wird nicht als Ganzes eingetippt, sondern auf Y1 und Y2 verteilt. ROOT sucht Nullstellen eines einzelnen Graphen — für zwei Graphen braucht man ISCT. logab gehört ins Run-Matrix-Menü (F4 MATH), nicht zu G-Solv.

Ansatz: Denke an die Reihenfolge: Menü → eingeben → zeichnen → lösen.

Weiter: Die Löse-Funktionen am Graphen heißen G-Solv (SHIFT F5); der Schnittpunkt zweier Graphen heißt ISCT.

A3

Vorzeichen-Detektiv

AFB I

Gesucht sind die Lösungen von \(2^{x}=3x\). Berechnen Sie ohne Rechner die Differenz \(d(x)=2^{x}-3x\) an den ganzen Stellen.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen.

\(x\)	0	1	2	3	4
\(d(x)\)

Zwei Vorzeichenwechsel: zwischen \(x=0\) und \(x=1\) (von \(+\) nach \(-\)) und zwischen \(x=3\) und \(x=4\) (von \(-\) nach \(+\)). Dort liegt je eine Lösung. Bei \(x=2\) ist \(d\) am kleinsten, aber noch kein Wechsel.

Ansatz: Erst \(2^x\) ausrechnen, dann \(3x\) abziehen: \(d(1)=2-3\).

Weiter: Achte auf das Vorzeichen: \(d(2)=4-6=-2\). Wo wechselt \(d\) von plus nach minus oder umgekehrt?

A4

Rechenkette: Intervall halbieren

AFB II

Eine Lösung von \(2^{x}=3x\) liegt zwischen 3 und 4. Ermitteln Sie sie durch Halbieren. Werte von \(d(x)=2^x-3x\) auf zwei Nachkommastellen.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

\(d(3{,}5)\)
\(d(3{,}25)\)
\(d(3{,}35)\)
Lösung auf eine Nachkommastelle gerundet

Aus \(d(3{,}25)<0<d(3{,}35)\) folgt \(3{,}25<x<3{,}35\) — jede Zahl darin rundet auf \(3{,}3\). Deshalb prüft man gerade \(3{,}35\): Damit ist die Rundung sicher. Der GTR liefert mit ISCT \(x\approx3{,}313\).

Ansatz: Rechne \(2^{3{,}5}\) mit dem Taschenrechner und ziehe \(3\cdot3{,}5=10{,}5\) ab.

Weiter: Das Vorzeichen zeigt die Hälfte mit der Lösung: \(d(3)<0\) und \(d(3{,}5)>0\), also liegt sie zwischen 3 und 3,5. Dann weiter halbieren.

A5

Das richtige Fenster

AFB II

Die Gleichung \(1{,}5^{x}=2x+1\) hat zwei Lösungen. Untersuchen Sie, in welchem V-Window (SHIFT F3) des fx-CG50 beide Schnittpunkte zu sehen sind.

Klicke die passende Karte an und prüfe dann. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter auswählen.

Die Lösungen sind \(x=0\) (dort \(y=1\)) und \(x\approx6{,}51\) (dort \(y\approx14{,}0\)). Fenster A enthält zwar \(x=6{,}51\), endet aber bei \(y=10\) — beide Graphen verlassen oben das Bild, bevor sie sich treffen. B endet schon bei \(x=5\), D bei \(x=4\).

Ansatz: Setze ganze Zahlen ein: Ab wann ist \(1{,}5^x\) wieder größer als \(2x+1\)? Probiere \(x=6\) und \(x=7\).

Weiter: Bei \(x\approx6{,}5\) haben beide Seiten etwa den Wert 14. Das Fenster muss also \(x=0\), \(x=6{,}5\) und \(y=14\) enthalten.

A6

Linear gegen exponentiell

AFB IIMix

Kanal A hat 1000 Follower und gewinnt jeden Monat \(8\,\%\) dazu. Kanal B hat 1500 Follower und gewinnt jeden Monat 60 dazu. Bestimmen Sie mit GTR oder CAS den Zeitpunkt \(t\) (in Monaten, zwei Nachkommastellen), zu dem beide gleich viele Follower haben.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Ansatz \(1000\cdot1{,}08^t=1500+60t\): \(t\) steht im Exponenten und im linearen Term, also grafisch (ISCT) oder mit nSolve(1000*1.08^x=1500+60*x,x,0,20) → 9.4253. Nach 9 Monaten liegt B noch vorn, nach 10 Monaten A. Typischer Ansatzfehler: \(1000\cdot0{,}08^t\) statt \(1000\cdot1{,}08^t\).

Ansatz: Stelle zwei Terme auf: A mit Wachstumsfaktor, B mit fester Zunahme pro Monat.

Weiter: Y1 = 1000×1.08^X, Y2 = 1500+60X, V-Window etwa \(x\) von 0 bis 15 und \(y\) von 0 bis 3000; dann G-Solv → ISCT.

A7

CAS-Befehl und Ausgabe

AFB II

Ordnen Sie jedem Befehl am TI-Nspire CX CAS die Ausgabe zu, die der Rechner anzeigt.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

„false“ heißt: keine Lösung — \(2^x\) ist nie negativ. nSolve gibt nur eine Zahl ohne „x=“ aus, und zwar die Lösung zwischen den beiden Grenzen am Ende; mit anderen Grenzen findet es die zweite Lösung von \(3^x=5x\). \(0{,}5^x=8\) hat \(x=-3\), weil \(0{,}5^{-3}=2^3=8\).

Ansatz: Überschlage im Kopf: \(1{,}5^4\approx5\), \(0{,}5^{-3}=8\).

Weiter: nSolve sucht nur zwischen den beiden Grenzen am Ende des Befehls — bei \(3^x=5x\) liegt eine Lösung zwischen 0 und 1, die andere zwischen 1 und 3.

A8

Trickaufgabe: Gibt es noch mehr?

AFB IIITrick

Lösen Sie \(1{,}1^{x}=x\) mit GTR oder CAS. Geben Sie die größte Lösung auf zwei Nachkommastellen an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Im üblichen Fenster sieht man nur \(x\approx1{,}11\) — danach liegt die Gerade scheinbar für immer über der flachen Exponentialkurve. Aber jede Exponentialfunktion mit \(b>1\) überholt irgendwann jede Gerade: Bei \(x\approx38{,}23\) schneiden sich die Graphen ein zweites Mal. Fenster z. B. \(x\) von 0 bis 50, \(y\) von 0 bis 60.

Ansatz: Exponentielles Wachstum überholt lineares Wachstum immer — auch wenn es am Anfang langsamer ist.

Weiter: Probiere Werte: \(1{,}1^{30}\approx17{,}4<30\), aber \(1{,}1^{40}\approx45{,}3>40\). Also liegt eine weitere Lösung zwischen 30 und 40 — Fenster anpassen oder nSolve(1.1^x=x,x,30,40).

A9

Stimmt's? — Fünferserie

AFB III

Beurteilen Sie fünf Aussagen zum grafischen und numerischen Lösen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Ein Rechner findet nur, wonach man ihn fragt: im Fenster, im Suchintervall, an den Tabellenstellen. Erst die Überlegung, wie viele Lösungen es geben kann, macht das Ergebnis sicher.

Ansatz: Frage bei jeder Aussage: Kann der Rechner hier etwas übersehen?

Weiter: Denke an \(1{,}1^x=x\) (zweite Lösung weit draußen) und an Fenster, die zu klein sind. Die letzte Aussage lässt sich durch Einsetzen prüfen.

A10

Fehlersuche im GTR-Protokoll

AFB III

Jana löst \(1{,}4^{x}=3x+2\) mit dem fx-CG50 und schreibt ihr Vorgehen auf. Überprüfen Sie das Protokoll: Drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

In Klassenarbeiten am häufigsten: den Y-Wert statt des X-Werts als Lösung notieren und ein zu kleines Fenster wählen.

Ansatz: Welcher Wert ist die Lösung einer Gleichung — X oder Y?

Weiter: Rechne \(1{,}4^{10}\approx28{,}9\) und \(3\cdot10+2=32\), dann \(1{,}4^{11}\approx40{,}5\) und \(3\cdot11+2=35\): Wer ist jeweils größer?

Übungen: Lösen mit GTR und CAS

Übungsaufgaben