Zwei Streamingdienste
AFB I–IIAnfang 2025 hat der Streamingdienst A \(2{,}4\) Millionen Abos, der neue Anbieter B \(0{,}8\) Millionen. Eine Marktstudie erwartet: A verliert jedes Jahr \(6\,\%\) seiner Abos, B gewinnt jedes Jahr \(150\,000\) Abos dazu.
Modell (\(t\) in Jahren ab Anfang 2025, Abos in Millionen): \(A(t)=2{,}4\cdot0{,}94^t\) und \(B(t)=0{,}8+0{,}15\,t\).
- Interpretieren Sie die Zahlen \(0{,}94\) und \(0{,}15\) im Sachzusammenhang.
- Erstellen Sie mit dem GTR eine Wertetabelle für \(t=0,1,\ldots,8\) und grenzen Sie ein, in welchem Jahr B erstmals mehr Abos hat als A.
- Bestimmen Sie grafisch mit dem GTR den Zeitpunkt, zu dem beide gleich viele Abos haben (zwei Nachkommastellen).
- Bestätigen Sie Ihr Ergebnis aus c) mit dem CAS.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(0{,}94=1-0{,}06\): A behält jedes Jahr \(94\,\%\) der Abos des Vorjahres, verliert also \(6\,\%\) — exponentielle Abnahme. \(0{,}15\): B gewinnt jedes Jahr \(0{,}15\) Millionen \(=150\,000\) Abos — lineares Wachstum. \(2{,}4\) und \(0{,}8\) sind die Abozahlen Anfang 2025.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Y1 = 2.4×0.94^X, Y2 = 0.8+0.15X, Wertetabelle (Millionen, gerundet):
| \(t\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A (Y1) | 2,400 | 2,256 | 2,121 | 1,993 | 1,874 | 1,761 | 1,656 | 1,556 | 1,463 |
| B (Y2) | 0,80 | 0,95 | 1,10 | 1,25 | 1,40 | 1,55 | 1,70 | 1,85 | 2,00 |
Bei \(t=5\) liegt A noch vorn (\(1{,}761\) gegen \(1{,}55\)), bei \(t=6\) schon B (\(1{,}70\) gegen \(1{,}656\)). Der Gleichstand liegt zwischen \(t=5\) und \(t=6\), also im Laufe des Jahres 2030; Anfang 2031 hat B erstmals mehr Abos.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Y1 = 2.4×0.94^X, Y2 = 0.8+0.15X; V-Window \(0\le x\le10\), \(0\le y\le3\); F6 (DRAW), SHIFT F5 (G-Solv), F5 (ISCT) → X = 5.824854072, Y = 1.673728111.
Nach etwa \(t\approx5{,}82\) Jahren haben beide rund \(1{,}67\) Millionen Abos — das ist etwa Ende Oktober 2030 (\(0{,}82\cdot12\approx9{,}9\) Monate nach Jahresbeginn). Die Lösung ist der X-Wert; Y ist die gemeinsame Abozahl.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
TI-Nspire CX CAS, Applikation Rechner: nSolve(2.4*0.94^x=0.8+0.15*x,x,5,6) → 5.82485. Das stimmt mit dem GTR-Wert \(5{,}824854072\) überein (das CAS zeigt nur sechs Stellen). Auch solve(2.4*0.94^x=0.8+0.15*x,x) liefert nur \(x=5.82485\): Es gibt genau einen Schnittpunkt, weil A immer fällt und B immer steigt.
Wie lange wirkt die Tablette?
AFB II–IIINach der Einnahme einer Schmerztablette wird der Wirkstoff erst ins Blut aufgenommen und dann abgebaut. Die Konzentration im Blut wird modelliert durch
\(C(t)=50\cdot\left(0{,}8^t-0{,}5^t\right)\) (\(t\) in Stunden nach der Einnahme, \(C\) in mg/L).
Die Tablette wirkt, solange \(C\) mindestens \(10\,\mathrm{mg/L}\) beträgt. Laut Packungsbeilage soll die nächste Tablette frühestens 6 Stunden nach der ersten genommen werden.
- Beschreiben Sie den Verlauf der Konzentration in den ersten 12 Stunden anhand einer Wertetabelle (\(t=0,1,\ldots,12\)); gehen Sie dabei auch auf \(C(0)\) ein.
- Ermitteln Sie mit GTR oder CAS, von wann bis wann die Tablette wirkt, und die Wirkdauer.
- Tim behauptet: „Das geht auch ohne GTR: Aus \(50\,(0{,}8^t-0{,}5^t)=10\) folgt \(0{,}8^t-0{,}5^t=0{,}2\), also \(t=\log_{0{,}8}(0{,}2)-\log_{0{,}5}(0{,}2)\approx4{,}89\).“ Widerlegen Sie Tims Behauptung.
- Beurteilen Sie die Empfehlung aus der Packungsbeilage mithilfe des Modells.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Wertetabelle (mg/L, gerundet):
| \(t\) in h | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C\) in mg/L | 0,0 | 15,0 | 19,5 | 19,4 | 17,4 | 14,8 | 12,3 | 10,1 | 8,2 | 6,6 | 5,3 | 4,3 | 3,4 |
\(C(0)=50\,(1-1)=0\): Direkt nach der Einnahme ist noch kein Wirkstoff im Blut. In den ersten zwei Stunden steigt die Konzentration schnell (Aufnahme überwiegt), erreicht zwischen \(t=2\) und \(t=3\) ihr Maximum von knapp \(20\,\mathrm{mg/L}\) und fällt danach immer langsamer (Abbau überwiegt). Für große \(t\) nähert sie sich 0.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Y1 = 50(0.8^X−0.5^X), Y2 = 10; V-Window \(0\le x\le12\), \(-2\le y\le22\); SHIFT F5 (G-Solv), F5 (ISCT) → X = 0.5446419348; ► → X = 7.046151861. Am CAS: nSolve(50*(0.8^x-0.5^x)=10,x,0,2) → 0.544642 und nSolve(50*(0.8^x-0.5^x)=10,x,2,12) → 7.04615.
Die Tablette wirkt von etwa \(0{,}54\,\mathrm h\) (gut eine halbe Stunde) bis etwa \(7{,}05\,\mathrm h\) nach der Einnahme, also rund \(6{,}5\) Stunden lang.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Probe: \(C(4{,}89)=50\,(0{,}8^{4{,}89}-0{,}5^{4{,}89})\approx15{,}1\ne10\). Tims Wert ist also keine Lösung.
Fehler: Der Logarithmus kehrt nur eine einzelne Potenz um (\(b^t=c\Rightarrow t=\log_b(c)\)). Hier steht \(t\) in zwei Potenzen mit verschiedenen Basen, die voneinander abgezogen werden; \(0{,}8^t-0{,}5^t\) lässt sich nicht zu einer Potenz \(b^t\) zusammenfassen. Deshalb bleibt nur das grafische oder numerische Lösen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Nach 6 h ist \(C(6)\approx12{,}3\,\mathrm{mg/L}\) — die erste Tablette wirkt noch bis etwa \(7{,}05\,\mathrm h\). Eine zweite Tablette um \(t=6\) erreicht die Schwelle allein nach etwa \(0{,}54\,\mathrm h\), also bei \(t\approx6{,}54\) — noch bevor die Wirkung der ersten endet. Die Schmerzlinderung geht so ohne Lücke weiter. Addiert man beide Konzentrationen, fällt die Summe bei Einnahme nach 6 h nie unter etwa \(12\,\mathrm{mg/L}\), bei 7 h gerade noch nicht unter \(10\,\mathrm{mg/L}\); erst bei etwa 8 h entstünde eine Lücke. Je früher man nachlegt, desto höher wird dafür die Spitze: bei 6 h im Modell knapp \(28\,\mathrm{mg/L}\) statt knapp \(20\,\mathrm{mg/L}\).
Urteil: Nach dem Modell ist „frühestens nach 6 Stunden“ sinnvoll — früh genug für lückenlose Wirkung, spät genug, um keine unnötig hohe Konzentration aufzubauen. Einschränkungen: Das Modell beschreibt einen Durchschnittsmenschen (Körpergewicht, Leber- und Nierenfunktion unterscheiden sich), und die Packungsbeilage berücksichtigt außerdem eine Tageshöchstdosis. Vollständig ist eine Antwort mit den Zahlen aus b), einem klaren Urteil und mindestens einer Grenze des Modells.