Lösen mit GTR und CAS

Die Gleichung \(f(x)=g(x)\) gilt genau dort, wo die Graphen von \(y_1=f(x)\) und \(y_2=g(x)\) sich schneiden. Das hilft, wenn Umformen nicht mehr geht.

• Wann nötig?\(2^x=x+3\): \(x\) steht im Exponenten und außerhalb — weder Basisvergleich noch Logarithmus lösen das.
• Eingeben:MENU 5 (Graph), bei Y1 2^X, EXE, bei Y2 X+3, EXE — \(x\) über die Taste X,θ,T.
• Zeichnen:F6 (DRAW).
• Schnittpunkt:SHIFT F5 (G-Solv), F5 (ISCT, im Handbuch INTSECT) → X=−2.862500371, Y=0.1374996288.
• Nächster:► → X=2.444907555, Y=5.444907555; ◄ geht zurück.
• V-Window:SHIFT F3 — Xmin, Xmax, Ymin, Ymax so wählen, dass alle Schnittpunkte zu sehen sind; für \(250\cdot1{,}04^x=400\) etwa \(x\) von \(-1\) bis \(24\), \(y\) von \(-100\) bis \(550\).

Ziehe den Trace-Cursor über den Bildschirm (oder Pfeiltasten) und beobachte \(Y1-Y2\). Dann springt „G-Solv INTSECT“ (oder Enter) zum Schnittpunkt — vergleiche mit der CAS-Zeile.

Halte fest: Am Schnittpunkt ist \(Y1-Y2=0\). Der GTR liefert die \(x\)-Koordinate mit zehn Stellen, das CAS dieselbe Zahl mit sechs — im Heft steht der gerundete Wert mit \(\approx\).

Ohne Graph sucht man, wo die Differenz \(2^x-(x+3)\) ihr Vorzeichen wechselt.

• Wertetabelle:\(x=2\): \(4-5=-1\) · \(x=3\): \(8-6=2\) — Vorzeichenwechsel, eine Lösung liegt zwischen \(2\) und \(3\).
• Halbieren:\(x=2{,}5\): \(\approx+0{,}16\) · \(x=2{,}4\): \(\approx-0{,}12\) — also zwischen \(2{,}4\) und \(2{,}5\); so weiter bis zur gewünschten Genauigkeit.
• fx-CG50:MENU 7 (Table), F5 (SET) für Start, End, Step, dann F6 (TABLE).

Am TI-Nspire CX CAS (Applikation Rechner) erledigt solve das in einer Zeile.

• Dezimalzahl:solve(250*1.04^x=400,x) → x=11.9836 — steht eine Dezimalzahl in der Eingabe, rechnet das CAS gleich genähert.
• Exakt:solve(2^x=5,x) → \(x=\frac{\ln(5)}{\ln(2)}\), also \(\log_2(5)\); mit ctrl enter → x=2.32193.
• Kein Umformen:solve(2^x=x+3,x) → x=−2.8625 or x=2.44491 — beide Lösungen, numerisch gesucht.
• nSolve:nSolve(2^x=x+3,x,0,5) → 2.44491 — nur eine Lösung, hier die zwischen \(0\) und \(5\).