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Übungen: Gleichung aus zwei Punkten

Zwei Punkte, zwei Unbekannte — und manchmal eine böse Überraschung.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Was folgt aus zwei Punkten?
AFB I

Der Graph von f(x) = a · bx geht durch P(0 | 7) und Q(2 | 28). Gib alle Aussagen an, die daraus folgen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
b = 4 vergisst die Wurzel: Aus b² = 28 : 7 = 4 folgt b = 2. Die Basis ist immer positiv, also scheidet −2 aus. 10,5 = (28 − 7) : 2 wäre die Steigung einer Geraden durch P und Q.
Ansatz: P liegt auf der y-Achse, also ist f(0) = a · b⁰ = a.Warum? b⁰ = 1 für jede Basis — der y-Achsenabschnitt ist direkt a.
Rechenweg: Q einsetzen: 28 = 7 · b², also b² = 4. Welche positive Zahl ergibt quadriert 4? Dann f(1) = a · b berechnen.
A2
Das Verfahren in Worten
AFB I

Beschreibe das Verfahren, indem du die Lücken füllst — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Liegt ein Punkt auf der y-Achse, ist a der . Sonst setzt man beide Punkte in f(x) = a · bx ein und die beiden Gleichungen. Dabei sich a heraus. Beim Wurzelziehen zählt nur die Lösung. Streuen viele Messwerte, liefert die die insgesamt am besten passende Kurve.

„subtrahiert“ bleibt übrig: Zieht man a · b⁵ − a · b² ab, verschwindet a nicht — erst der Quotient lässt a herausfallen.
Idee: Überlege, welche Rechenart aus a · b⁵ und a · b² das a verschwinden lässt.Warum? a ist ein Faktor — Faktoren verschwinden beim Teilen, nicht beim Abziehen.
Einordnen: Die letzte Lücke gehört zum GTR-Verfahren für viele Messpunkte (Menü Statistik).
A3
Basis mit fünfter Wurzel
AFB I

Der Graph von f(x) = a · bx verläuft durch P(0 | 80) und Q(5 | 200). Bestimme die Basis b auf drei Nachkommastellen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
a = 80, dann 200 = 80 · b⁵, also b⁵ = 2,5 und b = ⁵√2,5 ≈ 1,201. Wer 2,5 : 5 = 0,5 rechnet, teilt statt die Wurzel zu ziehen.
Ansatz: Aus P folgt a = 80. Setze Q ein: 200 = 80 · b⁵.Warum? Mit bekanntem a bleibt eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.
Rechenweg: b⁵ = 200 : 80 = 2,5. Die fünfte Wurzel ziehen: b = 2,51/5 (am Rechner 2,5 ^ (1 ÷ 5)).
A4
Lücken in der Wertetabelle
AFB II

Eine Exponentialfunktion f(x) = a · bx hat die Werte f(2) = 36 und f(5) = 7,776. Ermittle die fehlenden Werte.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
x012345
f(x)367,776
b³ = 7,776 : 36 = 0,216, also b = 0,6 und a = 36 : 0,6² = 100. Vorwärts mal 0,6, rückwärts durch 0,6 — f(1) = 36 : 0,6 = 60, nicht 36 − 24.
Ansatz: Zwischen x = 2 und x = 5 liegen drei Schritte, also gilt f(5) = f(2) · b³.Warum? Jeder Schritt um 1 multipliziert mit b.
Rechenweg: b³ = 0,216 ⇒ b = ∛0,216. Für x < 2 durch b teilen, für x > 2 mit b multiplizieren.
A5
Rechenkette: Die seltene Sammelkarte
AFB II

Eine seltene Sammelkarte war Anfang 2021 rund 45 € wert, Anfang 2024 rund 76 €. Modell: W(t) = a · bt, t in Jahren ab Anfang 2020. Berechne Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Faktor b (drei Nachkommastellen)
  2. Zunahme pro Jahr in % (eine Nachkommastelle) %
  3. Wert a Anfang 2020 in € €
  4. Modellwert Anfang 2027 in € €
Die Punkte sind (1 | 45) und (4 | 76): b³ = 76 : 45, b ≈ 1,191. Anfang 2027 liegt wieder drei Jahre nach 2024 — also W(7) = 76 · 76 : 45 ≈ 128,36 €, ganz ohne a.
Ansatz: Übersetze die Jahre in t-Werte: 2021 → t = 1, 2024 → t = 4. Dann 76 : 45 = b³.Warum? t = 0 ist Anfang 2020, nicht 2021 — sonst stimmt a nicht.
Rechenweg: b = (76 : 45)1/3; Zunahme = (b − 1) · 100 %; a = 45 : b; W(7) = a · b⁷.
A6
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Mila bestimmt die Funktion durch P(2 | 12) und Q(6 | 192). Überprüfe ihre Lösung — drei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die Probe mit dem zweiten Punkt hätte Milas letzte Zeile sofort entlarvt: 2 · 3⁶ = 1458, nicht 192.
Strategie: Prüfe jede Zeile einzeln mit einem Potenzgesetz aus Kapitel 3: bm : bn = bm−n.Warum? Die meisten Fehler entstehen beim Kürzen der Potenzen.
Probe: Setze das Endergebnis in beide Punkte ein. Passt f(2) = 12 und f(6) = 192?
A7
Punktpaare und Wachstum
AFB II Mix

Jedes Punktpaar legt eine Funktion f(x) = a · bx fest. Ordne jedem Paar Startwert und prozentuale Änderung pro Schritt zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Bei P(0 | 50), Q(4 | 72) ist b⁴ = 1,44, also b = 1,441/4 ≈ 1,095 — nicht 1,2: Der gleiche Gesamtzuwachs verteilt sich auf vier statt zwei Schritte.
Ansatz: Quotient der y-Werte bilden, dann die Wurzel nach dem Abstand der x-Werte ziehen. b = 1,2 heißt +20 %, b = 0,8 heißt −20 %.Warum? Wachstumsfaktor b = 1 + p/100 bzw. 1 − p/100 aus 4.1.2.
Startwert: Liegt kein Punkt auf der y-Achse, rechne zurück: a = y₁ : bx₁, z. B. 60 : 0,8 = 75.
A8
Trickaufgabe — geht das überhaupt?
AFB III

Stelle die Gleichung f(x) = a · bx auf, deren Graph durch P(1 | 4) und Q(3 | −16) verläuft.

Wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung. Eine falsche Wahl wird rot, dann probierst du es erneut.

    Die Falle: P liegt oberhalb, Q unterhalb der x-Achse. Der Graph von a · bˣ bleibt aber ganz auf einer Seite der x-Achse: Er nähert sich ihr höchstens an, schneidet sie aber nie.
    Hinschauen: Vergleiche die Vorzeichen der beiden y-Werte, bevor du rechnest.Warum? bx ist immer positiv — das Vorzeichen von f(x) hängt nur an a.
    Rechnen: Der Quotient −16 : 4 = −4 müsste gleich b² sein. Kann ein Quadrat negativ sein?
    A9
    Schätz-Regler: Genau in der Mitte
    AFB III

    Ein Graph von f(x) = a · bx geht durch P(0 | 3) und Q(10 | 96). Schätze den Funktionswert f(5) ab — erst überlegen, dann schieben.

    Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
    0100
    f(5) = 3 · b⁵ mit b¹⁰ = 32, also b⁵ = √32 ≈ 5,66 und f(5) ≈ 17,0. Die Mitte 49,5 zwischen 3 und 96 gilt nur für lineares Wachstum — exponentiell liegt f(5) beim geometrischen Mittel √(3 · 96).
    Idee: Nach 10 Schritten ist der Faktor 96 : 3 = 32. Nach der halben Zeit ist der Faktor nicht die Hälfte von 32.Warum? b⁵ · b⁵ = b¹⁰ — zweimal derselbe Faktor ergibt 32.
    Rechenweg: b⁵ = √32 ≈ 5,7. Also f(5) = 3 · 5,7.
    A10
    Wie reagiert die Basis?
    AFB III

    Ausgangspunkt: P(0 | 10) und Q(4 | 160) mit b = 2. In jeder Zeile wird nur die genannte Änderung vorgenommen. Lege für jede Zeile fest, was mit b passiert — möglichst ohne Taschenrechner.

    Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = b wird kleiner als 1, 2 = b wird kleiner, bleibt über 1, 3 = b bleibt gleich, 4 = b wird größer, aber unter 4, 5 = b wird 4 oder größer. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
    1 = b wird kleiner als 15 = b wird 4 oder größer
    beide y-Werte verdreifachen
    Q wandert nach (8 | 160)
    Q wandert nach (2 | 160)
    Q wird zu (4 | 5)
    Q wird zu (4 | 320)
    Es zählt nur der Quotient der y-Werte und der Abstand der x-Werte: b = (y₂ : y₁)1/(x₂ − x₁). Beide y-Werte mal 3 ändert den Quotienten nicht; ein größerer x-Abstand verteilt denselben Faktor auf mehr Schritte.
    Ansatz: Überlege für jede Zeile: Wie ändern sich y₂ : y₁ und x₂ − x₁?Warum? Nur diese beiden Größen stecken in b.
    Beispiele: Q(2 | 160): b² = 16. Q(4 | 5): y₂ : y₁ = 0,5 < 1. Q(4 | 320): b⁴ = 32 liegt zwischen 2⁴ = 16 und 4⁴ = 256.