Wärmepumpen im Landkreis
AFB I–IIEin Landkreis zählt die Wärmepumpen in Wohnhäusern. Die Anzahl soll durch \(f(t)=a\cdot b^{t}\) beschrieben werden, \(t\) in Jahren ab Anfang 2020.
| Jahr | Anfang 2022 | Anfang 2023 | Anfang 2025 |
|---|---|---|---|
| Wärmepumpen | 1 532 | 1 850 | 2 517 |
- Stellen Sie mithilfe der Werte von Anfang 2022 und Anfang 2025 die Funktionsgleichung auf (\(b\) auf zwei Nachkommastellen, \(a\) ganzzahlig).
- Deuten Sie die Parameter \(a\) und \(b\) im Sachzusammenhang.
- Berechnen Sie, wie viele Wärmepumpen das Modell für Anfang 2030 vorhersagt.
- Überprüfen Sie das Modell mit dem Wert von Anfang 2023.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(1532=a\cdot b^{2}\) und \(2517=a\cdot b^{5}\). Teilen: \(b^{3}=\frac{2517}{1532}\approx1{,}6430\), also \(b=\sqrt[3]{1{,}6430}\approx1{,}18\).
\(a=\frac{1532}{1{,}18^{2}}\approx1100\). Ergebnis: \(f(t)=1100\cdot1{,}18^{t}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(a\approx1100\): Anfang 2020 gab es laut Modell etwa 1100 Wärmepumpen im Landkreis.
\(b=1{,}18\): Die Anzahl wächst jedes Jahr um etwa \(18\,\%\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f(10)=1100\cdot1{,}18^{10}\approx1100\cdot5{,}234\approx5757\). Das Modell sagt für Anfang 2030 rund 5 760 Wärmepumpen voraus.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(f(3)=1100\cdot1{,}18^{3}\approx1807\). Gezählt wurden 1 850, die Abweichung beträgt \(\frac{1850-1807}{1850}\approx2{,}3\,\%\).
Das Modell beschreibt auch den dritten Wert gut — die Annahme eines gleichbleibenden Wachstumsfaktors ist für 2022 bis 2025 vertretbar.
Licht unter Wasser
AFB II–IIIEin Tauchteam misst in einem Baggersee, wie viel Prozent des Tageslichts an der Oberfläche in verschiedenen Tiefen noch ankommt.
| Tiefe \(x\) in m | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(I\) in % | 100 | 71 | 47 | 35 | 24 | 16 |
- Bestimmen Sie eine Funktion \(I(x)=a\cdot b^{x}\), deren Graph durch die Messpunkte bei \(2\,\mathrm m\) und \(8\,\mathrm m\) verläuft.
- Ermitteln Sie mit dem GTR die exponentielle Regression zu allen sechs Messwerten und geben Sie \(r^{2}\) an.
- Vergleichen Sie die Vorhersagen beider Modelle für \(20\,\mathrm m\) Tiefe und beurteilen Sie, welchem Modell Sie eher vertrauen.
- Ein Taucher sagt: „Laut Formel ist es nie ganz dunkel — also sehe ich auch in \(100\,\mathrm m\) Tiefe noch etwas.“ Nehmen Sie Stellung.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
- MENU 2: \(x\)-Werte in List 1, \(I\)-Werte in List 2, jeweils mit EXE.
- F1 (GRAPH), F1 (GRAPH1) zeigt das Streudiagramm.
- F1 (CALC), F6 (▷), F3 (EXP), F2 (a·b^x).
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(71=a\cdot b^{2}\) und \(24=a\cdot b^{8}\). Teilen: \(b^{6}=\frac{24}{71}\approx0{,}3380\), also \(b=0{,}3380^{\frac16}\approx0{,}835\).
\(a=\frac{71}{0{,}835^{2}}\approx102\). Ergebnis: \(I(x)\approx102\cdot0{,}835^{x}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Regression \(a\cdot b^{x}\): \(a\approx100{,}68\), \(b\approx0{,}8339\), also \(I_R(x)\approx100{,}68\cdot0{,}8339^{x}\).
\(r^{2}\approx0{,}9985\): sehr nahe an 1, die Exponentialkurve passt sehr gut zu den Messwerten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Zwei Punkte: \(I(20)\approx102\cdot0{,}835^{20}\approx2{,}8\,\%\) (mit ungerundetem \(a\) und \(b\): \(2{,}74\,\%\)). Regression: \(I_R(20)\approx100{,}68\cdot0{,}8339^{20}\approx2{,}7\,\%\).
Die Werte liegen hier nah beieinander. Die Regression ist vertrauenswürdiger, weil sie alle sechs Messwerte nutzt; das Zwei-Punkte-Modell hängt davon ab, welche zwei Punkte man zufällig wählt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Mathematisch stimmt es: \(b^{x}\) wird nie 0, also ist \(I(x)>0\) für jede Tiefe. \(I(100)\approx100{,}68\cdot0{,}8339^{100}\approx1{,}3\cdot10^{-6}\,\%\) — praktisch nichts.
Außerdem wurde nur bis \(10\,\mathrm m\) gemessen; ob Trübung und Wasser in \(100\,\mathrm m\) gleich bleiben, ist unbekannt (und ein Baggersee ist meist gar nicht so tief). Der Schluss „ich sehe noch etwas“ überdehnt das Modell: Es gilt nur im gemessenen Bereich, und winzige Lichtmengen reichen dem Auge nicht.