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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Welcher Weg führt zum Ziel?
AFB IOrdnen Sie jede Gleichung dem passenden Lösungsweg zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1gleiche Basis
2Logarithmus
3keine Lösung
Versteckte gleiche Basis: \(9^x=3^{2x}\) und \(27=3^3\), also \(2x=3\) und \(x=1{,}5\); \(0{,}001=10^{-3}\). Bei \(4\cdot2^x+3=1\) erst \(-3\), dann \(:4\): \(2^x=-0{,}5\) — negativ, also keine Lösung. \(7\cdot3^x=50\) führt auf \(3^x=\tfrac{50}{7}\), keine Potenz von 3.
Ansatz: Stelle zuerst die Potenz allein: Summanden abziehen, durch den Vorfaktor teilen. Erst dann entscheiden.
Weiter: Prüfe, ob beide Seiten Potenzen derselben Grundzahl sind — auch versteckt: \(9=3^2\), \(32=2^5\), \(0{,}001=10^{-3}\). Ist die rechte Seite negativ, gibt es keine Lösung.
A2
Lückentext: das Verfahren
AFB INennen Sie die fehlenden Fachwörter — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Bei \(a\cdot b^x=c\) stellt man zuerst die Potenz allein: Man beide Seiten durch \(a\). Lässt sich \(\tfrac ca\) als Potenz von \(b\) schreiben, man die Exponenten. Sonst hilft der : \(x=\log_b\!\left(\tfrac ca\right)\). Ist \(\tfrac ca\) negativ, gibt es Lösung. Wird gefragt, ab wann ein Wert erstmals überschritten ist, und zählen nur ganze Jahre, wird das Ergebnis .
„subtrahiert“ bleibt übrig: \(a\) ist ein Faktor, deshalb wird geteilt. Wer \(3\cdot2^x=15\) mit „\(-3\)“ löst, erhält \(2^x=12\) statt \(2^x=5\).
Ansatz: Denke an die Reihenfolge aus dem Merkkasten: erst den Vorfaktor loswerden, dann die Potenz auflösen.
Weiter: Die Gegenoperation zu „mal \(a\)“ ist … — und \(b^x\) ist für jedes \(x\) positiv.
A3
Knapp daneben ist auch vorbei
AFB IBerechnen Sie die Lösung von \(0{,}4\cdot3^{x}=11\). Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(3^x=\tfrac{11}{0{,}4}=27{,}5\), also \(x=\log_3(27{,}5)\approx3{,}02\) — knapp über 3, weil \(27{,}5\) knapp über \(3^3=27\) liegt. Wer zuerst \(0{,}4\cdot3=1{,}2\) rechnet, landet bei \(\log_{1{,}2}(11)\approx13{,}15\): falsch, denn die Potenz wird vor dem Malnehmen ausgerechnet.
Ansatz: Teile zuerst durch \(0{,}4\). Welche Zahl steht dann rechts?
Weiter: \(3^x=27{,}5\) — und \(27=3^3\) liegt ganz nah. Am fx-CG50: F4 (MATH), F2 (logab), Basis 3, ►, 27.5, EXE.
A4
Rechenkette: Luftdruck in den Bergen
AFB IIAuf Meereshöhe beträgt der Luftdruck etwa \(1013\,\mathrm{hPa}\); mit jedem Kilometer Höhe nimmt er um etwa \(12\,\%\) ab. Ermitteln Sie Schritt für Schritt die gesuchten Größen.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Wachstumsfaktor \(b\) pro km
- Luftdruck in 3 km Höhe (ganze hPa) hPa
- Höhe, in der nur noch 500 hPa herrschen (zwei Nachkommastellen) km
- Von dort aus: Wie viele km höher ist der Druck um weitere 10 % gesunken? (zwei Nachkommastellen) km
Modell \(p(h)=1013\cdot0{,}88^h\). Schritt 3: \(0{,}88^h=\tfrac{500}{1013}\), \(h=\log_{0{,}88}\!\big(\tfrac{500}{1013}\big)\approx5{,}52\). Schritt 4 hängt nicht vom Startdruck ab: \(0{,}88^h=0{,}9\) ergibt \(h\approx0{,}82\,\mathrm{km}\) — egal, ob man auf Meereshöhe oder in 5,5 km startet. Typischer Fehler in Schritt 1: \(b=0{,}12\) oder \(b=1{,}12\).
Ansatz: Abnahme um \(p\,\%\): \(b=1-\tfrac{p}{100}\). Dann gilt \(p(h)=1013\cdot b^h\).
Weiter: Schritt 3: \(1013\cdot0{,}88^h=500\) — erst durch 1013 teilen, dann logarithmieren. Schritt 4: „um weitere 10 % gesunken“ heißt Faktor 0,9; der Startwert kürzt sich heraus.
A5
Lösungen der Größe nach
AFB IIVergleichen Sie die Lösungen der fünf Gleichungen, ohne sie genau auszurechnen, und ordnen Sie sie von der kleinsten zur größten.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
10,5ˣ = 10
24ˣ = 0,5
33ˣ = 10
42ˣ = 10
51,5ˣ = 10
Eingrenzen mit bekannten Potenzen: \(3^2=9<10<27\) → \(x\approx2{,}1\); \(2^3=8<10<16\) → \(x\approx3{,}3\); \(1{,}5^5\approx7{,}6<10\) → \(x\approx5{,}7\). Bei \(0{,}5^x=10\) muss \(x\) negativ sein (\(0{,}5^{-3}=8\), \(0{,}5^{-4}=16\)), und \(4^x=0{,}5=4^{-1/2}\) ergibt \(x=-0{,}5\). Je näher die Basis an 1 liegt, desto größer der nötige Exponent.
Ansatz: Eine kleinere Basis (über 1) braucht einen größeren Exponenten, um 10 zu erreichen.
Weiter: Ist die Basis kleiner als 1 und die rechte Seite größer als 1 (oder umgekehrt), ist die Lösung negativ. Und \(0{,}5=\tfrac12=\tfrac{1}{\sqrt4}\).
A6
Wurzeln und Brüche im Exponenten
AFB IIMixLösen Sie die Gleichungen ohne Rechner, indem Sie beide Seiten als Potenz von 2 bzw. 3 schreiben, und verbinden Sie jede Gleichung mit ihrer Lösung.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Aus Kapitel 3: \(\sqrt a=a^{1/2}\) und \(\tfrac1{a^n}=a^{-n}\). Beispiel: \(4^x=2^{2x}\) und \(\sqrt2=2^{1/2}\), also \(2x=\tfrac12\) und \(x=\tfrac14\). Falle: Bei \(\left(\tfrac14\right)^x=2^{-2x}\) das Minus vergessen — dann kommt \(+\tfrac32\) heraus.
Ansatz: Schreibe jede Zahl als Potenz einer gemeinsamen Grundzahl: \(8=2^3\), \(4=2^2\), \(27=3^3\), \(9=3^2\).
Weiter: Wurzel heißt Exponent \(\tfrac12\), Kehrwert heißt Minus im Exponenten: \(\sqrt3=3^{1/2}\), \(\tfrac19=3^{-2}\). Dann Exponenten vergleichen, z. B. \(3^{3x}=3^{-2}\Rightarrow 3x=-2\).
A7
Rückwärts: Parameter gesucht
AFB IIJede Gleichung hat die angegebene Lösung. Bestimmen Sie jeweils den fehlenden Parameter.
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
| Gleichung | Lösung | gesucht |
|---|---|---|
| \(a\cdot2^{x}=40\) | \(x=3\) | \(a=\) |
| \(5\cdot b^{x}=80\), \(b>0\) | \(x=4\) | \(b=\) |
| \(3\cdot2^{x}=c\) | \(x=-1\) | \(c=\) |
| \(10\cdot b^{x}=2{,}5\), \(b>0\) | \(x=2\) | \(b=\) |
Lösung einsetzen, dann ist nur noch der Parameter unbekannt: \(5\cdot b^4=80\Rightarrow b^4=16\Rightarrow b=2\). \(10\cdot b^2=2{,}5\Rightarrow b^2=0{,}25\Rightarrow b=0{,}5\) (nur die positive Wurzel, weil \(b>0\)). Bei \(c=3\cdot2^{-1}\) ist \(2^{-1}=\tfrac12\), also \(c=1{,}5\) — nicht \(-6\).
Ansatz: Setze die gegebene Lösung für \(x\) ein. Dann ist es eine ganz normale Gleichung für \(a\), \(b\) oder \(c\).
Weiter: \(b^4=16\): Welche positive Zahl hoch 4 ergibt 16? \(b^2=0{,}25\): Wurzel ziehen. Und \(2^{-1}=\tfrac12\).
A8
Trickaufgabe: Vier gleiche Summanden
AFB IIITrickGeben Sie die Lösung von \(2^{x}+2^{x}+2^{x}+2^{x}=2^{12}\) an.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Vier gleiche Summanden: \(4\cdot2^x=2^2\cdot2^x=2^{x+2}\). Aus \(x+2=12\) folgt \(x=10\). Die Falle: Die Summe ist weder \(2^{4x}\) (dann käme \(x=3\) heraus) noch \(8^x\) (dann \(x=4\)).
Ansatz: Addiert werden gleiche Potenzen — wie schreibt man \(y+y+y+y\) kürzer?
Weiter: \(4\cdot2^x\): Schreibe auch die 4 als Zweierpotenz und nutze \(2^m\cdot2^n=2^{m+n}\).
A9
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IIIBeurteilen Sie fünf Aussagen über \(a\cdot b^x=c\) mit \(a>0\), \(b>0\) und \(b\ne1\).
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Hinter allen fünf Aussagen steckt: \(b^x\) ist immer positiv, und ein Faktor im Ergebnis wird zu einem Summanden im Exponenten.
Ansatz: Teste jede Aussage an einem einfachen Zahlenbeispiel, z. B. mit Basis 2 oder 0,5.
Weiter: Nutze Potenzen, die du kennst: \(3^2=9\), \(3^3=27\), \(100=10^2\), \(2^{x+1}=2\cdot2^x\).
A10
Was passiert mit der Lösung?
AFB IIIDie Gleichung \(200\cdot1{,}05^{t}=400\) hat die Lösung \(t\approx14{,}2\). Schätzen Sie für jede Änderung ab, wie sich die Lösung verändert — ohne zu rechnen.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = viel kleiner, 2 = etwas kleiner, 3 = bleibt gleich, 4 = etwas größer, 5 = viel größer. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = viel kleiner5 = viel größer
Start 400, Ziel 800: \(400\cdot1{,}05^{t}=800\)
Faktor 1,10 statt 1,05: \(200\cdot1{,}10^{t}=400\)
Ziel 440 statt 400: \(200\cdot1{,}05^{t}=440\)
Ziel 1600 statt 400: \(200\cdot1{,}05^{t}=1600\)
Faktor 1,055 statt 1,05: \(200\cdot1{,}055^{t}=400\)
Es zählt nur das Verhältnis Ziel : Start und die Basis. Start und Ziel verdoppelt: wieder Verhältnis 2, also gleiche Lösung. \(1600:200=8=2^3\): dreimal verdoppeln, \(t\approx42{,}6\). Faktor 1,10: \(t\approx7{,}3\), etwa halb so lang. Faktor 1,055: \(t\approx12{,}9\). Ziel 440: \(t\approx16{,}2\).
Ansatz: Teile in Gedanken durch den Startwert: Es kommt nur auf das Verhältnis Ziel : Start an.
Weiter: Denke in Verdopplungen: Wie oft muss sich der Wert verdoppeln? Und wächst er schneller, dauert jede Verdopplung kürzer.