Ein Meme geht viral
AFB I–IIMila schickt ein lustiges Bild an 3 Freundinnen (Runde 1). Jede Person, die das Bild neu erhält, leitet es in der nächsten Runde an 3 Personen weiter, die es noch nicht kennen. In Runde \(n\) erhalten also \(N(n)=3^n\) Personen das Bild neu.
- Geben Sie an, wie viele Personen das Bild in Runde 5 neu erhalten.
- Bestimmen Sie ohne Taschenrechner, in welcher Runde genau 2187 Personen das Bild neu erhalten.
- Berechnen Sie, in welcher Runde erstmals mehr als 100 000 Personen das Bild neu erhalten.
- Erläutern Sie, warum das Modell nach wenigen weiteren Runden nicht mehr stimmen kann.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(N(5)=3^5=243\). In Runde 5 erhalten 243 Personen das Bild neu.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(2187=3\cdot729=3^2\cdot243=\ldots=3^7\). Aus \(3^n=3^7\) folgt \(n=7\). Probe: \(3^7=2187\) ✓. In Runde 7 erhalten genau 2187 Personen das Bild neu.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(3^n=100\,000\;\Rightarrow\;n=\log_3(100\,000)\approx10{,}48\). Am fx-CG50: Run-Matrix, F4 (MATH), F2 (logab), Basis 3, ►, 100000, EXE → 10.47951637.
Kontrolle: \(3^{10}=59\,049\lt100\,000\lt177\,147=3^{11}\). Erstmals in Runde 11 erhalten mehr als 100 000 Personen das Bild neu.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(3^n=84\,000\,000\) ergibt \(n=\log_3(84\,000\,000)\approx16{,}6\): In Runde 17 müssten \(3^{17}\approx129\) Millionen Personen das Bild neu erhalten — mehr, als in Deutschland leben.
Außerdem kennen viele Empfänger das Bild schon, Freundeskreise überschneiden sich, und nicht jeder leitet weiter. Das Wachstum wird deshalb gebremst — eher begrenztes als unbegrenztes exponentielles Wachstum.
Solarmodul im Dauertest
AFB II–IIIEin Solarmodul hat laut Datenblatt eine Nennleistung von \(400\,\mathrm W\). Im ersten Betriebsjahr verliert es \(2\,\%\) davon, danach in jedem weiteren Jahr \(0{,}5\,\%\) der Leistung des Vorjahres. Der Hersteller garantiert: Nach 25 Jahren liefert das Modul noch mindestens \(80\,\%\) der Nennleistung.
Im Werbeprospekt steht: „Auch nach 30 Jahren liefert unser Modul noch 90 % seiner Leistung.“ Herr Demir betreibt ein baugleiches Modul seit genau 10 Jahren und misst nur noch \(352\,\mathrm W\).
- Stellen Sie einen Term für die Leistung \(P(t)\) nach \(t\) Jahren (\(t\ge1\)) auf.
- Ermitteln Sie, nach wie vielen Jahren die Leistung laut Modell erstmals unter 80 % der Nennleistung fällt.
- Überprüfen Sie die Aussage im Werbeprospekt.
- Nehmen Sie Stellung zur Frage, ob Herr Demir mit einem Garantiefall rechnen muss.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P(1)=400\cdot0{,}98=392\). Danach wird jedes Jahr mit \(0{,}995\) multipliziert, bis zum Jahr \(t\) also \((t-1)\)-mal:
\(P(t)=392\cdot0{,}995^{\,t-1}\) (in W, \(t\ge1\)). Kontrolle: \(P(25)=392\cdot0{,}995^{24}\approx347{,}6\,\mathrm W\approx86{,}9\,\%\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(392\cdot0{,}995^{\,t-1}=320\;\Rightarrow\;0{,}995^{\,t-1}=\tfrac{320}{392}\approx0{,}8163\;\Rightarrow\;t-1=\log_{0{,}995}\!\big(\tfrac{320}{392}\big)\approx40{,}49\), also \(t\approx41{,}49\).
Kontrolle: \(P(41)\approx320{,}8\,\mathrm W\), \(P(42)\approx319{,}2\,\mathrm W\). Laut Modell fällt die Leistung nach 42 Jahren erstmals unter 80 % — die Garantie für 25 Jahre hält das Modell locker ein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(392\cdot0{,}995^{\,t-1}=360\;\Rightarrow\;t-1=\log_{0{,}995}\!\big(\tfrac{360}{392}\big)\approx16{,}99\), also \(t\approx17{,}99\): Schon nach 18 Jahren liegt die Leistung unter 90 % (\(P(17)\approx361{,}8\,\mathrm W\), \(P(18)\approx360{,}0\,\mathrm W\), knapp darunter).
Nach 30 Jahren: \(P(30)=392\cdot0{,}995^{29}\approx339{,}0\,\mathrm W\approx84{,}7\,\%\). Die Werbeaussage ist nach dem eigenen Herstellermodell falsch.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Laut Modell müsste das Modul nach 10 Jahren \(P(10)\approx374{,}7\,\mathrm W\) liefern; gemessen sind nur 352 W. Nimmt man das 1. Jahr wie im Datenblatt (392 W) und danach einen festen Faktor \(b\) an: \(392\cdot b^9=352\Rightarrow b=\sqrt[9]{\tfrac{352}{392}}\approx0{,}9881\), also etwa \(1{,}2\,\%\) Verlust pro Jahr.
Hochgerechnet: \(P(25)=352\cdot b^{15}\approx294\,\mathrm W\approx73{,}5\,\%\) — unter der Garantie. Aus \(352\cdot b^{\,t-10}=320\) folgt \(t\approx18\): Schon nach etwa 18 Jahren wären die 80 % unterschritten.
Abwägung: Eine einzige Messung ist unsicher (Temperatur, Sonnenstand, Verschmutzung, Messgerät), und der Verlust muss nicht jedes Jahr gleich sein. Mögliche Position: Ein Garantiefall ist wahrscheinlich, Herr Demir sollte aber über mehrere Jahre unter gleichen Bedingungen messen, bevor er sich an den Hersteller wendet. Vollständig ist eine Antwort mit Rechnung, klarer Position und mindestens einem Einwand gegen das Modell.