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Exponentialgleichungen lösen

Wenn die Unbekannte oben im Exponenten sitzt, holt sie ein genauer Blick auf die Basis herunter — oder der Logarithmus.

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Gleiche Basis: Exponenten vergleichen

Lassen sich beide Seiten als Potenz derselben Basis schreiben, müssen die Exponenten gleich sein — jeder Wert von \(b^x\) wird nur bei genau einem \(x\) erreicht.

  • Idee:\(b^{u}=b^{v}\;\Rightarrow\;u=v\) für \(b>0\), \(b\ne1\).
  • Beispiel 1:\(3^{x+1}=81=3^4\;\Rightarrow\;x+1=4\;\Rightarrow\;x=3\).
  • Beispiel 2:\(4^x=\tfrac1{16}=4^{-2}\;\Rightarrow\;x=-2\) — negative Exponenten aus Kapitel 3.
  • Probe:\(3^{3+1}=3^4=81\) ✓ · \(4^{-2}=\tfrac1{4^2}=\tfrac1{16}\) ✓
  • Grenze:\(3^x=20\) — \(20\) ist keine Potenz von \(3\). Dann hilft nur der Logarithmus.
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Allgemein: mit dem Logarithmus

Aus 4.3.1: \(b^x=y\) hat die Lösung \(x=\log_b(y)\). Steht vor der Potenz ein Faktor \(a\), wird er zuerst abgespalten.

Herleitung:

\(250\cdot1{,}04^x=400\)
| \(:250\)
Start: 250 € Guthaben, 4 % Zinsen im Jahr — nach wie vielen Jahren sind es 400 €?
\(1{,}04^x=1{,}6\)
| logarithmieren
Jetzt steht die Potenz allein: \(\tfrac{400}{250}=1{,}6\).
\(x=\log_{1{,}04}(1{,}6)\)
| Rechner
\(x\) ist der Exponent, mit dem \(1{,}04\) zu \(1{,}6\) wird.
\(x\approx11{,}98\)
Ergebnis
Probe: \(250\cdot1{,}04^{12}\approx400{,}26\) und \(250\cdot1{,}04^{11}\approx384{,}86\).
  • Antwort:Nach 12 Jahren sind erstmals mehr als 400 € auf dem Konto — Zinsen gibt es nur einmal im Jahr, also aufrunden.
  • Reihenfolge:erst durch \(a\) teilen, dann logarithmieren — der Logarithmus gehört zur reinen Potenz \(b^x\).
  • Lösbar?nur wenn \(\tfrac ca>0\): \(3\cdot2^x=-6\) führt auf \(2^x=-2\) — keine Lösung, denn \(b^x\) ist immer positiv.
  • fx-CG50:im Menü Run-Matrix F4 (MATH), F2 (logab), Basis \(1.04\), ►, \(1.6\), EXE → \(11.98355643\).
Merke

Exponentialgleichung: \(a\cdot b^x=c\;\Rightarrow\;x=\log_b\!\left(\frac{c}{a}\right)\)

Wähle oben eine Gleichung und bringe die Schrittkarten in die richtige Reihenfolge: ziehen — oder mit der Leertaste aufnehmen, mit den Pfeiltasten verschieben, mit der Leertaste ablegen. Dann „Prüfen“.

Lösungsschritte ordnen

Oben steht der erste Schritt, unten der letzte.

    Halte fest: Erst die Potenz allein stellen (Vorfaktor abspalten), dann Exponenten vergleichen oder logarithmieren — zum Schluss Probe und Antwort.

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    Allgemeine Hinweise

    Vorfaktor nicht in die Basis ziehen

    \(250\cdot1{,}04^x\) ist nicht \(260^x\). Die Potenz wird zuerst berechnet, deshalb erst durch \(250\) teilen.

    Negative Seite: keine Lösung

    \(b^x\) ist für jedes \(x\) positiv. Führt die Umformung auf \(b^x=0\) oder \(b^x<0\), hat die Gleichung keine Lösung.

    Probe und passend runden

    Das Ergebnis in die Ausgangsgleichung einsetzen. Im Sachkontext sinnvoll runden — bei jährlicher Verzinsung auf ganze Jahre auf.

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