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Übung — AFB II (Zusammenhänge herstellen)

Zehn Sachaufgaben aus allen drei Abschnitten — Situation übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus allen Abschnitten des Kapitels: erst die Situation übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn Sie nicht weiterkommen.

A1
Ein Scanner
AFB II

Ein Scanner erfasst eine DIN-A4-Seite schwarz-weiß mit 2480 × 3508 Pixeln.

a) Berechnen Sie den Speicherbedarf in KB (1 KB = 1000 Byte). b) Mit Lauflänge erreicht der Scanner k = 8 %. Wie groß ist die Datei dann?

KB
KB
Ansatz: Jedes Pixel braucht 1 Bit; erst durch 8, dann durch 1000.
Rechenweg: \(2480\cdot3508=8\,699\,840\) Bit \(=1\,087\,480\) Byte; b) \(0{,}08\cdot1087{,}48\).
Lösung: a) ≈ 1087,5 KB b) ≈ 87,0 KB
Vollständige Lösung
\(2480\cdot3508=8\,699\,840\) Bit \(=1\,087\,480\) Byte \(\approx1087{,}5\) KB. Mit \(k=8\,\%\): \(0{,}08\cdot1087{,}48\approx87{,}0\) KB. Hinweis: Textseiten haben viele lange weiße Läufe — daher der gute Wert.
A2
Webcam-Stream
AFB II

Eine Webcam liefert 30 Bilder pro Sekunde mit 640 × 480 Pixeln und 24 Bit Farbtiefe.

a) Welche Datenrate in Mbit/s entsteht ohne Kompression? b) Wie viele Sekunden passen unkomprimiert auf 1 GB (8000 Mbit)?

Mbit/s
s
Ansatz: Bits je Bild mal Bilder je Sekunde.
Rechenweg: \(640\cdot480\cdot24\cdot30=221\,184\,000\) bit/s; b) \(8000:221{,}184\).
Lösung: a) ≈ 221,2 Mbit/s b) ≈ 36,2 s
Vollständige Lösung
\(640\cdot480\cdot24=7\,372\,800\) Bit je Bild, mal 30 = \(221{,}184\) Mbit/s. \(8000:221{,}184\approx36{,}2\) s. Hinweis: Deshalb werden Videos immer (verlustbehaftet) komprimiert.
A3
Sensordaten
AFB II

Ein Sensor liefert 60 Werte mit je 8 Bit. Es entstehen 7 Läufe; gespeichert werden 6 Bit Anzahl und 8 Bit Wert.

a) Wie lang ist die Lauflängencodierung? b) Welches Kompressionsverhältnis k (in %) ergibt sich?

Bit
%
Ansatz: \(L=\text{Läufe}\cdot(\text{Anzahl}+\text{Wert})\).
Rechenweg: \(7\cdot14=98\); Original \(60\cdot8=480\).
Lösung: a) 98 Bit b) ≈ 20,4 %
Vollständige Lösung
\(7\cdot(6+8)=98\) Bit; \(k=\tfrac{98}{480}\approx20{,}4\,\%\). Hinweis: Mit 6 Bit sind Läufe bis 63 möglich — alle 60 Werte passen im Extremfall in ein Paar.
A4
Huffman für vier Zeichen
AFB II

Ein Text aus 50 Zeichen enthält E 20-mal, A 15-mal, N 10-mal und T 5-mal.

a) Wie viele Bit braucht der Text mit einem Huffman-Code? b) Wie groß ist die mittlere Codewortlänge?

Bit
Bit
Ansatz: Baum: T + N = 15, dann 15 + 15 = 30, dann 20 + 30.
Rechenweg: Längen: E 1, A 2, N 3, T 3.
Lösung: a) 95 Bit b) 1,9 Bit
Vollständige Lösung
T 5 + N 10 = 15; A 15 + 15 = 30; E 20 + 30 = 50. Längen E 1, A 2, N 3, T 3: \(20+30+30+15=95\) Bit, \(95:50=1{,}9\) Bit. Hinweis: Fester Code: 2 Bit je Zeichen = 100 Bit — Huffman spart nur 5 %.
A5
Backup einer Schule
AFB II

Drei Dateien werden gepackt: 800 MB → 200 MB, 400 MB → 360 MB, 800 MB → 440 MB.

a) Wie groß ist k für alle drei zusammen (in %)? b) Wie viele MB werden insgesamt gespart?

%
MB
Ansatz: Summen bilden, nicht Prozentwerte mitteln.
Rechenweg: Original 2000 MB, komprimiert 1000 MB.
Lösung: a) 50 % b) 1000 MB
Vollständige Lösung
Original \(800+400+800=2000\) MB, komprimiert \(200+360+440=1000\) MB → \(k=50\,\%\), gespart 1000 MB. Hinweis: Der Mittelwert der Einzelwerte (25 %, 90 %, 55 %) ist 56,7 % — nicht dasselbe.
A6
Stop-and-Wait
AFB II

Ein Sender schickt 40 Pakete mit Stop-and-Wait. Hin- und Rückweg dauern je 0,05 s, der Timeout beträgt 0,5 s.

a) Wie lange dauert die Übertragung ohne Verluste? b) Wie lange, wenn drei Pakete je einmal verloren gehen?

s
s
Ansatz: Je Paket Hin- und Rückweg; jeder Verlust kostet zusätzlich den Timeout.
Rechenweg: \(40\cdot0{,}1=4\) s; b) \(4+3\cdot0{,}5\).
Lösung: a) 4 s b) 5,5 s
Vollständige Lösung
Ohne Verluste \(40\cdot(0{,}05+0{,}05)=4\) s. Jeder Verlust: Timeout 0,5 s, danach die normale Runde → \(4+3\cdot0{,}5=5{,}5\) s.
A7
Farbpalette
AFB II

Ein Bild mit 100 × 100 Pixeln verwendet genau 64 Farben. Es wird mit Palette gespeichert (je Farbe 3 Byte).

a) Wie viele Bit braucht eine Farbnummer? b) Wie viele Byte braucht das Bild samt Palette?

Bit
Byte
Ansatz: 64 Farben → \(2^{n}\ge64\).
Rechenweg: \(10\,000\cdot6:8=7500\) Byte, dazu \(64\cdot3=192\) Byte.
Lösung: a) 6 Bit b) 7692 Byte
Vollständige Lösung
6 Bit je Pixel: \(10\,000\cdot6=60\,000\) Bit \(=7500\) Byte; Palette 192 Byte → 7692 Byte statt 30 000 Byte mit 24 Bit.
A8
Pakete mit Kopf
AFB II

Eine Datei mit 12 000 Byte wird in Pakete mit 1000 Byte Nutzdaten und 40 Byte Kopf zerlegt.

a) Wie viele Pakete entstehen? b) Wie viele Byte werden insgesamt übertragen?

Byte
Ansatz: Pakete = Datei : Nutzdaten je Paket.
Rechenweg: \(12\cdot40=480\) Byte Kopf dazu.
Lösung: a) 12 b) 12 480 Byte
Vollständige Lösung
\(12\,000:1000=12\) Pakete; \(12\,000+12\cdot40=12\,480\) Byte (Kopfanteil 3,8 %).
A9
Eigener Zeichencode
AFB II

Ein Text aus 400 Zeichen besteht nur aus 26 Großbuchstaben und dem Leerzeichen.

a) Wie viele Bit braucht er mit einem Code fester, minimaler Länge? b) Wie viel Prozent spart das gegenüber 8 Bit je Zeichen?

Bit
%
Ansatz: 27 Zeichen → kleinstes \(n\) mit \(2^{n}\ge27\).
Rechenweg: 5 Bit; \(400\cdot5=2000\) statt 3200.
Lösung: a) 2000 Bit b) 37,5 %
Vollständige Lösung
\(2^{5}=32\ge27\) → 5 Bit, \(400\cdot5=2000\) Bit. ASCII-Byte: 3200 Bit → Einsparung \(\tfrac{1200}{3200}=37{,}5\,\%\).
A10
Download mit und ohne ZIP
AFB II

Eine 50-MB-Datei wird über eine 16-Mbit/s-Leitung geladen.

a) Wie lange dauert der Download unkomprimiert? b) Wie lange, wenn die Datei als ZIP mit k = 60 % vorliegt?

s
s
Ansatz: 50 MB = 400 Mbit.
Rechenweg: \(400:16\); b) \(0{,}6\cdot400:16\).
Lösung: a) 25 s b) 15 s
Vollständige Lösung
\(50\cdot8=400\) Mbit, \(400:16=25\) s. Mit ZIP 240 Mbit → 15 s. Hinweis: Das Entpacken kostet zusätzlich etwas Rechenzeit.