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Übung AFB II

Zehn Sachaufgaben aus Technik, Labor und Alltag — hier werden Formeln aus mehreren Unterkapiteln verknüpft.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Aufgaben mit je zwei Teilergebnissen: erst Modell und Gleichung klären, dann rechnen — vom Stirlingmotor bis zur Mottenkugel. Die Tipps schalten sich nacheinander frei.

A1
Gas im Stirlingmotor
AFB II

Im Arbeitszylinder eines Stirlingmotors nimmt das Gas \(2{,}40\,\text{kJ}\) Wärme auf und dehnt sich gegen den konstanten Druck \(p = 150\,\text{kPa}\) von \(4{,}0\,\text{L}\) auf \(10{,}0\,\text{L}\) aus.

a) Berechnen Sie die Volumenarbeit in kJ. b) Ermitteln Sie \(\Delta U\) des Gases.

kJ
kJ
Ansatz: System = Gas; \(Q = +2{,}40\,\text{kJ}\) (hinein), Ausdehnung → \(W < 0\).
Rechenweg: \(W = -p\cdot\Delta V = -150\,\text{kPa}\cdot 6{,}0\,\text{L}\); dann \(\Delta U = Q + W\).
Lösung: a) −0,90 kJ b) +1,50 kJ
Vollständige Lösung
a) \(W = -150 \cdot 6{,}0\,\text{J} = -900\,\text{J} = -0{,}90\,\text{kJ}\). b) \(\Delta U = 2{,}40 - 0{,}90 = +1{,}50\,\text{kJ}\): Nur 1,50 kJ der zugeführten Wärme bleiben im Gas, 0,90 kJ gehen als Arbeit an den Kolben.
A2
Octan in der Bombe
AFB II

1,142 g Octan (\(M = 114{,}2\,\text{g/mol}\)) verbrennen im Bombenkalorimeter (Gesamt-Wärmekapazität \(C = 10{,}95\,\text{kJ/K}\)); \(\Delta T = 4{,}99\,\text{K}\). Reaktion: \(\ce{C8H18(l) + 25/2 O2(g)}\) \(\ce{-> 8 CO2(g) + 9 H2O(l)}\).

a) Berechnen Sie \(\Delta_c U\). b) Bestimmen Sie daraus \(\Delta_c H\) bei 25 °C.

kJ/mol
kJ/mol
Ansatz: Die Bombe ist starr: gemessen wird \(Q_V = \Delta U\) (1.1.3).
Rechenweg: a) \(Q = C\cdot\Delta T\), \(n = 0{,}0100\,\text{mol}\). b) \(\Delta n(\text{g}) = 8 - 12{,}5 = -4{,}5\); \(\Delta H = \Delta U + \Delta n(\text{g})\cdot R\cdot T\).
Lösung: a) −5464 kJ/mol b) −5475 kJ/mol
Vollständige Lösung
a) \(Q = 10{,}95 \cdot 4{,}99 = 54{,}64\,\text{kJ}\); \(\Delta_c U = -54{,}64 : 0{,}0100 \approx -5464\,\text{kJ/mol}\). b) \(\Delta_c H = -5464 + (-4{,}5)\cdot 2{,}48 \approx -5475\,\text{kJ/mol}\). Weil Gas verschwindet, schiebt die Umgebung nach: \(|\Delta H| > |\Delta U|\). Typischer Fehler: Wasser als Gas mitzählen.
A3
Elektrisch kalibriert
AFB II

Ein Kalorimeter mit \(100\,\text{g}\) Wasser wird mit einer Heizspirale kalibriert: \(U = 12{,}0\,\text{V}\), \(I = 2{,}50\,\text{A}\), \(t = 60\,\text{s}\), \(\Delta T = 3{,}60\,\text{K}\). Danach löst man darin 4,25 g Natriumnitrat (\(M = 85{,}0\,\text{g/mol}\)); \(\Delta T = -2{,}05\,\text{K}\) (Masse und Wärmekapazität der Lösung wie Wasser).

a) Ermitteln Sie die Kalorimeterkonstante \(C_K\). b) Berechnen Sie \(\Delta_L H(\ce{NaNO3})\).

J/K
kJ/mol
Ansatz: Elektrische Energie \(Q = U\cdot I\cdot t\) erwärmt Wasser und Gefäß (1.2.1).
Rechenweg: a) \(C_{\text{ges}} = Q : \Delta T\), davon \(c_W\cdot m_W = 418\,\text{J/K}\) abziehen. b) \(n = 0{,}0500\,\text{mol}\); \(\Delta_L H = -C_{\text{ges}}\cdot\Delta T : n\).
Lösung: a) 82 J/K b) +20,5 kJ/mol
Vollständige Lösung
a) \(Q = 12{,}0 \cdot 2{,}50 \cdot 60 = 1800\,\text{J}\); \(C_{\text{ges}} = 1800 : 3{,}60 = 500\,\text{J/K}\); \(C_K = 500 - 418 = 82\,\text{J/K}\). b) \(\Delta_L H = -500 \cdot (-2{,}05) : 0{,}0500\,\text{J/mol} = +20{,}5\,\text{kJ/mol}\) — die Temperatur sinkt, also endotherm.
A4
Türkiser Wasserstoff
AFB II

Bei der Methanpyrolyse \(\ce{CH4(g) -> C(Graphit) + 2 H2(g)}\) entsteht Wasserstoff ohne CO₂. Gegeben: \(\Delta_c H^\circ\) in kJ/mol: CH₄ −890,3; C(Graphit) −393,5; H₂ −285,8.

a) Ermitteln Sie mit dem Satz von Hess \(\Delta_f H^\circ(\ce{CH4})\). b) Berechnen Sie den Energiebedarf der Pyrolyse pro Kilogramm Wasserstoff (\(M(\ce{H2}) = 2{,}016\,\text{g/mol}\)).

kJ/mol
MJ/kg
Ansatz: Bildung = Verbrennung der Elemente minus Verbrennung des Produkts (Hess, 1.2.3).
Rechenweg: a) \(\Delta_f H^\circ = -393{,}5 + 2\cdot(-285{,}8) - (-890{,}3)\). b) Pyrolyse = Umkehrung der Bildung; pro 2 mol H₂ = 4,032 g.
Lösung: a) −74,8 kJ/mol b) 18,6 MJ/kg
Vollständige Lösung
a) Kreisprozess: \(\ce{C + 2 H2}\) verbrennen (−965,1 kJ) = Methan bilden + Methan verbrennen → \(\Delta_f H^\circ = -965{,}1 + 890{,}3 = -74{,}8\,\text{kJ/mol}\). b) Pyrolyse: +74,8 kJ je 4,032 g H₂ → \(74{,}8 : 4{,}032 \approx 18{,}6\,\text{kJ/g} = 18{,}6\,\text{MJ/kg}\) — viel weniger als die rund 143 MJ/kg bei der Wasserspaltung.
A5
Silberoxid zerfällt
AFB II

Silberoxid zerfällt beim Erhitzen: \(\ce{2 Ag2O(s) -> 4 Ag(s) + O2(g)}\). Gegeben: \(\Delta_f H^\circ(\ce{Ag2O}) = -31{,}1\,\text{kJ/mol}\); \(S^\circ\) in J/(mol·K): Ag₂O 121,3; Ag 42,6; O₂ 205,2.

a) Berechnen Sie \(\Delta_r S^\circ\). b) Bestimmen Sie die Temperatur in °C, ab der der Zerfall freiwillig abläuft.

J/(mol·K)
°C
Ansatz: \(\Delta_r H^\circ = +62{,}2\,\text{kJ/mol}\) (zwei Formeleinheiten zerlegen); \(\Delta S > 0\), also entropiegetrieben.
Rechenweg: b) \(T_U = \Delta_r H^\circ : \Delta_r S^\circ\) mit \(\Delta_r S^\circ\) in kJ/(mol·K), dann −273,15.
Lösung: a) +133,0 J/(mol·K) b) ≈ 194,5 °C
Vollständige Lösung
a) \(\Delta_r S^\circ = 4\cdot 42{,}6 + 205{,}2 - 2\cdot 121{,}3 = +133{,}0\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\). b) \(T_U = 62{,}2 : 0{,}1330\,\text{K} \approx 467{,}7\,\text{K} \approx 194{,}5\,°\text{C}\). Oberhalb davon ist \(\Delta G < 0\). Fehlerquelle: Koeffizient 2 bei \(\Delta_f H^\circ\) vergessen (dann 97 °C).
A6
Margarine härten
AFB II

Bei der Fetthärtung werden C=C-Doppelbindungen an Nickel hydriert. Modell: \(\ce{C2H4(g) + H2(g) -> C2H6(g)}\); \(\Delta_f H^\circ\) in kJ/mol: C₂H₄ +52,4; C₂H₆ −84,0. Am Nickel beträgt \(E_A(\text{hin}) = 42\,\text{kJ/mol}\).

a) Berechnen Sie \(\Delta_r H^\circ\). b) Bestimmen Sie die Aktivierungsenergie der Rückreaktion am Nickel.

kJ/mol
kJ/mol
Ansatz: Wasserstoff ist ein Element: \(\Delta_f H^\circ = 0\) (1.2.2).
Rechenweg: b) \(E_A(\text{rück}) = E_A(\text{hin}) - \Delta H\) — gilt auch auf dem katalysierten Weg (1.3.2).
Lösung: a) −136,4 kJ/mol b) 178,4 kJ/mol
Vollständige Lösung
a) \(\Delta_r H^\circ = -84{,}0 - 52{,}4 = -136{,}4\,\text{kJ/mol}\). b) \(E_A(\text{rück}) = 42 + 136{,}4 = 178{,}4\,\text{kJ/mol}\). Der Katalysator senkt beide Hürden um denselben Betrag, \(\Delta H\) bleibt gleich.
A7
Hexan im Campingkocher
AFB II

Waschbenzin besteht überwiegend aus Hexan: \(\Delta_c H^\circ(\ce{C6H14},\text{l}) = -4163\,\text{kJ/mol}\), \(M = 86{,}18\,\text{g/mol}\); \(\Delta_V H(\ce{H2O}) = 44{,}0\,\text{kJ/mol}\).

a) Berechnen Sie den Brennwert \(H_s\). b) Berechnen Sie den Heizwert \(H_i\).

MJ/kg
MJ/kg
Ansatz: Gleichung aufstellen: \(\ce{2 C6H14 + 19 O2 -> 12 CO2 + 14 H2O}\) — pro mol Hexan 7 mol Wasser.
Rechenweg: a) \(H_s = 4163 : 86{,}18\). b) Pro mol Hexan \(7\cdot 44{,}0\,\text{kJ}\) abziehen, dann durch \(M\) teilen.
Lösung: a) 48,3 MJ/kg b) 44,7 MJ/kg
Vollständige Lösung
a) \(H_s = 4163 : 86{,}18 \approx 48{,}3\,\text{kJ/g} = 48{,}3\,\text{MJ/kg}\). b) Wasserdampf nimmt \(7 \cdot 44{,}0 = 308\,\text{kJ}\) mit: \(H_i = (4163 - 308) : 86{,}18 \approx 44{,}7\,\text{MJ/kg}\). Im Campingkocher entweicht der Dampf — nutzbar ist nur \(H_i\).
A8
Beschlagene Scheibe
AFB II

Wasserdampf kondensiert bei 25 °C an einer kalten Scheibe: \(\ce{H2O(g) -> H2O(l)}\) mit \(\Delta H^\circ = -44{,}0\,\text{kJ/mol}\), \(\Delta S^\circ = -118{,}8\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\).

a) Berechnen Sie die Entropieänderung der Umgebung \(\Delta S_U\) (298 K). b) Ermitteln Sie \(\Delta S_{\text{ges}}\).

J/(mol·K)
J/(mol·K)
Ansatz: Die Umgebung nimmt die Kondensationswärme auf (1.4.2).
Rechenweg: \(\Delta S_U = -\Delta H : T\) in J; \(\Delta S_{\text{ges}} = \Delta S + \Delta S_U\).
Lösung: a) +147,7 J/(mol·K) b) +28,9 J/(mol·K)
Vollständige Lösung
a) \(\Delta S_U = 44\,000 : 298 \approx +147{,}7\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\). b) \(\Delta S_{\text{ges}} = -118{,}8 + 147{,}7 = +28{,}9\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)} > 0\): Die Kondensation läuft freiwillig ab, obwohl die Entropie des Wassers sinkt.
A9
Solarturm-Kraftwerk
AFB II

In einem Solarturm-Kraftwerk treibt Salzschmelze mit \(400\,°\text{C}\) eine Dampfturbine an; gekühlt wird mit \(35\,°\text{C}\). Die Wärmezufuhr beträgt \(100\,\text{MW}\).

a) Berechnen Sie den Carnot-Wirkungsgrad. b) Bestimmen Sie die mindestens abzuführende Abwärmeleistung.

%
MW
Ansatz: Temperaturen in Kelvin: 673 K und 308 K (1.4.2).
Rechenweg: a) \(1 - T_k : T_w\). b) Mindestabwärme \(Q_w\cdot T_k : T_w\), damit \(\Delta S_{\text{ges}} \ge 0\).
Lösung: a) 54,2 % b) 45,8 MW
Vollständige Lösung
a) \(\eta_{\max} = 1 - 308 : 673 \approx 0{,}542 = 54{,}2\,\%\). b) \(100\,\text{MW} \cdot 308 : 673 \approx 45{,}8\,\text{MW}\) müssen mindestens als Abwärme abfließen — real ist es deutlich mehr.
A10
Mottenkugel in der Bombe
AFB II

0,640 g Naphthalin \(\ce{C10H8(s)}\) (\(M = 128{,}17\,\text{g/mol}\)) verbrennen im Bombenkalorimeter (\(C = 10{,}0\,\text{kJ/K}\)); \(\Delta T = 2{,}572\,\text{K}\). \(\Delta_f H^\circ\) in kJ/mol: CO₂ −393,5; H₂O(l) −285,8.

a) Berechnen Sie \(\Delta_c U\). b) Ermitteln Sie über \(\Delta_c H\) die Standard-Bildungsenthalpie von Naphthalin.

kJ/mol
kJ/mol
Ansatz: Gleichung: \(\ce{C10H8 + 12 O2 -> 10 CO2 + 4 H2O(l)}\); \(\Delta n(\text{g}) = -2\) (1.1.3, 1.2.1).
Rechenweg: a) \(\Delta_c U = -C\cdot\Delta T : n\). b) \(\Delta_c H = \Delta_c U - 2\cdot 2{,}48\), dann Hess: \(\Delta_f H^\circ = 10\cdot(-393{,}5) + 4\cdot(-285{,}8) - \Delta_c H\) (1.2.3).
Lösung: a) −5151 kJ/mol b) ≈ +78 kJ/mol
Vollständige Lösung
a) \(n = 0{,}004\,993\,\text{mol}\); \(\Delta_c U = -25{,}72 : 0{,}004\,993 \approx -5151\,\text{kJ/mol}\). b) \(\Delta_c H \approx -5151 - 4{,}96 = -5156\,\text{kJ/mol}\); \(\Delta_f H^\circ = -3935 - 1143{,}2 + 5156 \approx +78\,\text{kJ/mol}\). Naphthalin ist energiereicher als seine Elemente — kleine Messfehler bei \(\Delta_c H\) wirken sich stark auf \(\Delta_f H^\circ\) aus.